1. La fonction carré : $x \mapsto x^2$ #
1.1. Définition et propriétés #
Définition 1 La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.
Propriété 1 La fonction carré est :
- strictement décroissante sur $]-\infty; 0]$,
- strictement croissante sur $[0; +\infty[$.
La fonction carré n’est ni linéaire, ni affine.
$$ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline x^2 & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \text{0} & \end{array} $$
1.2. Parabole d’équation $y = x^2$ #
La fonction carré est représentée par une courbe appelée parabole. Elle est constituée de tous les points $M(x, x^2)$ et a pour équation $y = x^2$. Le point $O(0, 0)$ est son sommet. La fonction carré est paire.
Propriété 2 Dans un repère orthogonal, la parabole d’équation $y = x^2$ admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
Démonstration Pour n’importe quel réel $x$, on a $(-x)^2 = x^2$. Les points $M(x; x^2)$ et $M’(-x; x^2)$ appartiennent tous les deux à la courbe et sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. L’axe des ordonnées est donc un axe de symétrie de cette parabole.
1.3. Équations $x^2 = a$ #
1.3.1. N’oublions pas les solutions négatives ! #
Exemple 1 La démarche « naturelle » qui consiste à résoudre l’équation $x^2 = 4$ en $x = 2$ est fausse. En effet, on attend TOUTES les solutions et on a oublié $-2$, qui vérifie pourtant $(-2)^2 = 4$.
D’où vient cette erreur ? Des applications du théorème de Pythagore ! En effet, souvenons-nous : Si $ABC$ est rectangle en $A$ et que $AB = 3$ et $AC = 4$, alors le théorème de Pythagore s’applique et il vient : $$ \begin{array}{rl} AB^2 + AC^2 &= BC^2 \ 4^2 + 3^2 &= BC^2 \ 25 &= BC^2 \end{array} $$ On en déduit que $BC = 5$, car $BC$ est une distance, donc un nombre positif. La solution $BC = -5$ est exclue, car impossible. Rien n’indique dans l’équation $x^2 = 4$ que $x$ soit positif… donc rien ne permet d’exclure $x = -2$ !
1.3.2. Cas général \newline #
Si $a < 0$, $x^2 = a$ n’a pas de solution.
Démonstration $x^2 \geq 0$ pour tout réel $x$. Donc $x^2$ ne peut jamais être égal à un nombre strictement négatif.
Si $a = 0$, $x^2 = 0$ a une unique solution $x = 0$.
Démonstration $x^2 = 0$ signifie $x \times x = 0$. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. $0$ est donc la seule solution.
Si $a > 0$, $x^2 = a$ a deux solutions : $x = -\sqrt{a}$ et $x = \sqrt{a}$.
Démonstration $x^2 = a$ revient à $x^2 - a = 0$. Comme $a$ est positif, il est le carré de $\sqrt{a}$. L’équation s’écrit $(x + \sqrt{a})(x - \sqrt{a}) = 0$. Soit $x = -\sqrt{a}$ ou $x = +\sqrt{a}$.
2. La fonction valeur absolue : $x \mapsto |x|$ #
2.1 Définition et propriétés #
Définition 2
La fonction valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcl} x &\text{ si } &x\geq0 \\ -x &\text{ si} &x < 0 \end{array} \right.$$
Exemple 2
- $|0| = 0 \text{ car } 0 \geq 0$
- $|3| = 3 \text{ car } 3 \geq 0$
- $|-2| = -(-2) = 2 \text{ car } -2 < 0$
- $|-5| = 5 \text{ car } -5 < 0$
Propriété 3
La valeur absolue est toujours positive. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $|x| \geq 0$.
Autrement dit, la courbe de la valeur absolue est située au dessus de l’axe des abscisses.
Propriété 4
La valeur absolue est décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty[$.
$$ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline |x| & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \text{0} & \end{array} $$
2.2 Représentation graphique #
La courbe de la valeur absolue est constituée de deux demi-droites sécantes à l’origine.
