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Fractions : réduire, multiplier (nombres, lettres) #

Rappels : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ et $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad+bc}{bd}$

Exercice 1 #

Effectuer les opérations suivantes en détaillant les calculs

1. $\quad\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}$

2. $\quad\dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{3}$

3. $\quad\dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{3}$

4. $\quad\dfrac{3}{72} + 4 \times \dfrac{5}{48}$

5. $\quad\dfrac{3}{16} \times \dfrac{4}{18}$

6. $\quad\dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{21} - 4 \times \dfrac{11}{3}$

Exercice 2 #

Réduire au même dénominateur et simplifier

1. $\quad\dfrac{2}{x+1} - \dfrac{3}{2x-5}$

2. $\quad\dfrac{2x-4}{3x-1} - \dfrac{3x+5}{2x-2}$

3. $\quad\dfrac{3x}{(x+1)(x-1)} - \dfrac{3x+5}{x+1}$

Valeur interdite, domaine de définition #

Rappel On ne peut diviser par 0. Si une expression de fonction comporte un $x$ au dénominateur, cette fonction n’est définie que lorsque le dénominateur est différent de 0.

Donc $f(x) = \dfrac{1}{x+3}$ n’est définie que lorsque $x+3 \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq -3$

Aussi : $D_f = ]-\infty; -3[ \cup ]-3; +\infty[$.

$-3$ est une valeur interdite de $f$.

Exercice 3 #

Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes :

1. $\quad f(x) = \dfrac{3x-2}{7x+5}$
2. $\quad f(x) = \dfrac{4x-3}{2x-9}$
3. $\quad f(x) = \dfrac{x-1}{(2x-6)(2x+4)}$
4. $\quad f(x) = \dfrac{x+1}{x^2-1}$
5. $\quad f(x) = \dfrac{x+1}{2x-3} + \dfrac{x^2-1}{3x-4}$

Exercice 4 #

On considère la fonctions $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x}{x+4}$

1. Déterminer son ensemble de définition
2. Calculer les images de $0$, $-1$ et $1$.
3. $-4$ a-t-il une image par $f$ ? Pourquoi ?
4. Déterminer les antécédents de $0$, de $-1$ et de $1$.
5. Construire le graphe de $f$ sur la calculatrice et retrouver les résultats précédents.
6. Construire le tableau de variations de $f$ par lecture graphique.
7. Construire le tableau de signes de $f$ par lecture graphique.

Tableau de signes, valeur interdite #

Partons d’un exemple :

On procède comme pour le signe d’un produit mais…

1. Le signe du quotient $\dfrac{a}{b}$ est le même que celui de $a \times b$ lorsque $b \neq 0$.
2. Les valeurs interdites sont indiquées par une double barre à la dernière ligne

Exercice 5 #

Construire le tableau de signes des expressions suivantes puis résoudre l’inéquation proposée

1. $\quad f(x) = \dfrac{3x+5}{2x-7}$ et $f(x) \geq 0$

2. $\quad g(x) = \dfrac{2x+4}{5x+9}$ et $g(x) \leq 0$

3. $\quad h(x) = \dfrac{x+4}{(5x-11)(x-2)}$ et $h(x) < 0$