I. Définition par les coordonnées #
1) Définition et propriétés des vecteurs #
Exercice 1 #
Déterminez les coordonnées des vecteurs suivants :
- $\overrightarrow{AB}$ défini par les points $A(2, 3)$ et $B(5, 7)$.
- $\overrightarrow{DC}$ défini par les points $C(-1, 2)$ et $D(3, -4)$.
Exercice 2 #
Calculez les coordonnées des vecteurs suivants :
- $\overrightarrow{w}$ défini par les points $E(0, 0)$ et $F(4, 3)$ avec $\overrightarrow{w} = 3 \overrightarrow{EF}$.
- $\overrightarrow{x}$ défini par les points $G(-2, -3)$, $H(2, 1)$ et $K(3, -2)$ avec $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{GH} - \overrightarrow{GK}$.
II. Addition et soustraction de vecteurs #
Exercice 3 #
Soient les vecteurs $\overrightarrow{u}(2, 3)$ et $\overrightarrow{v}(4, 1)$. Calculez $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$.
Exercice 4 #
Soient les vecteurs $\overrightarrow{a}(1, 2)$ et $\overrightarrow{b}(3, -1)$. Calculez $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$.
Exercice 5 #
Déterminez les coordonnées du vecteur résultant de l’addition de $\overrightarrow{u}(3, 4)$ et $\overrightarrow{v}(-2, 5)$.
Exercice 6 #
Calculez les coordonnées du vecteur résultant de la soustraction de $\overrightarrow{a}(5, 7)$ par $\overrightarrow{b}(1, 2)$.
III. Relation de Chasles #
Exercice 7 #
Utilisez la relation de Chasles pour simplifier les sommes suivantes :
- $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CB}$.
- $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$.
- $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}$.
- $\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{EF}$.
Exercice 8 #
Vérifier la relation de Chasles pour $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$, où $A(1, 1)$, $B(3, 2)$, $C(5, 4)$, et $D(6, 7)$.
IV. Produit d’un vecteur par un réel #
Exercice 9 #
Calculez les coordonnées de $2\overrightarrow{u}$ pour $\overrightarrow{u}(3, 4)$.
Exercice 10 #
Trouvez les coordonnées de $-\frac{1}{2}\overrightarrow{v}$ pour $\overrightarrow{v}(-6, 8)$.
Exercice 11 #
Soit $\overrightarrow{w}(7, -3)$. Trouvez les coordonnées de $k\overrightarrow{w}$ pour $k = -2$.
Exercice 12 #
Calculez les coordonnées de $\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$ pour $\overrightarrow{a}(9, 12)$.
V. Colinéarité #
Exercice 13 #
Déterminez si les vecteurs $\overrightarrow{u}(2, 4)$ et $\overrightarrow{v}(1, 2)$ sont colinéaires.
Exercice 14 #
Les vecteurs $\overrightarrow{a}(5, 10)$ et $\overrightarrow{b}(3, 6)$ sont-ils colinéaires ? Justifiez votre réponse.
VI. Application : alignement de trois points #
Exercice 15 #
Les points $A(2, 2)$, $B(4, 6)$, et $C(6, 10)$ sont-ils alignés ? Justifiez votre réponse.
Exercice 16 #
Les points $D(-2, -3)$, $E(0, 1)$, et $F(4, 9)$ sont-ils alignés ? Justifiez votre réponse.
VII. Application : parallélisme #
Exercice 17 #
Les vecteurs $\overrightarrow{u}(2, 3)$ et $\overrightarrow{v}(4, 6)$ sont-ils colinéaires ? Justifiez votre réponse.
Exercice 18 #
On a $A(2,1), B(3, 5), D(7, 3), E(4, -9)$. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ? Justifiez.
VIII. Divers #
Exercice 19 #
Soit le vecteur $\overrightarrow{u}(x, y)$. Trouvez les coordonnées de $-3\overrightarrow{u}$.
Exercice 20 #
Soient $\overrightarrow{u}(a, b)$ et $\overrightarrow{v}(2a, 2b)$. Montrez que ces vecteurs sont colinéaires.