Vecteurs, première partie

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1. Repères et coordonnées #

1.1. Repères du plan #

Dans le plan, trois points non alignés $O$, $I$ et $J$ déterminent un repère $(O, I, J)$. Dans ce repère, tout point $M$ du plan est repéré par son couple de coordonnées $(x; y)$.

1.2. Trois types de repères #

1.2.1. Orthogonal #

Définition 1 Si $(OI)$ est perpendiculaire à $(OJ)$, on dit que le repère $(O, I, J)$ est orthogonal.

1.2.2. Orthonormé #

Définition 2 Si $(OI)$ est perpendiculaire à $(OJ)$ et que $OI = OJ$, on dit que le repère $(O, I, J)$ est orthonormé.

1.2.3. Quelconque #

Définition 3 Sinon, le repère est dit quelconque.

1.2.4. Propriétés communes à tous les repères #

Propriété 1 Dans n’importe quel type de repère $(O, I, J)$, on a :

• Les coordonnées : $O(0; 0)$, $I(1; 0)$ et $J(0; 1)$.
• Deux points qui ont les mêmes coordonnées sont confondus.

1.3. Milieu d’un segment #

Théorème 1 Dans le repère $(O, I, J)$, soit $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$. Le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $$ K\left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right). $$ Cette formule est valable dans tout type de repère.

Exemple 1 Soit $A(-2; 3)$ et $B(4; 2)$, alors : $$ x_K = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \quad \text{et} \quad y_K = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2}. $$

Remarque 1 Le milieu $K$ est le « point moyen » de $A$ et $B$. Son abscisse est la moyenne des abscisses, son ordonnée est la moyenne des ordonnées.

1.4. Distance en repère orthonormé #

Théorème 2 Dans un repère orthonormé, soit $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$. La distance $AB$ est donnée par : $$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. $$

Exercice 1 Soit $A(1; -2)$ et $B(4; 2)$. Démontrer que $B$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon $5$.

Solution $B$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon $5$ si $AB = 5$. D’après la propriété : $$ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5. $$ Ainsi, $B$ appartient au cercle.

Preuve : Distance en repère orthonormé La preuve s’appuie sur le théorème de Pythagore.

Considérons le point $C(x_B; y_A)$. On suppose $x_A \neq x_B$ et $y_A \neq y_B$. Les axes du repère sont perpendiculaires, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. D’après le théorème de Pythagore : $$ AB^2 = AC^2 + BC^2. $$ Or $AC = x_B - x_A$ ou $x_A - x_B$, dans tous les cas $AC^2 = (x_A - x_B)^2$. De même, $BC^2 = (y_B - y_A)^2$. On remplace : $$ AB^2 = (x_A - x_B)^2 + (y_B - y_A)^2. $$ Donc : $$ AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_B - y_A)^2}. $$ On vérifie que la formule reste vraie si $x_A = x_B$ ou si $y_A = y_B$.

2. Translation et vecteurs #

2.1. Vecteurs du plan #

Définition 4 Soient $A$ et $B$ deux points du plan. À tout point $C$ du plan, on associe l’unique point $D$ tel que $[AD]$ et $[BC]$ aient le même milieu. On dit que $D$ est l’image de $C$ par la translation qui envoie $A$ sur $B$.

Si $C$ n’est pas aligné avec $A$ et $B$, $D$ est l’unique point tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.

Si $C$ est aligné avec $A$ et $B$, le parallélogramme $ABDC$ est aplati.

Remarque 2 Attention à l’ordre : le parallélogramme est $AB\underline{DC} \neq AB\underline{CD}$ !

La translation qui envoie $A$ sur $B$ est aussi appelée la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$. Si $A \neq B$, on représente le vecteur $\overrightarrow{AB}$ par une flèche d’origine $A$ et d’extrémité $B$.

Visuellement, ce vecteur donne l’idée d’un déplacement :

• Il en indique la direction, celle de la droite $(AB)$,
• le sens, de $A$ vers $B$,
• et la longueur $AB$.

2.2. Égalité de deux vecteurs #

Propriété 2 Dire que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie que $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$. Autrement dit :

• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ si et seulement si $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.
• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.

Remarque 3

• Visuellement, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux s’ils donnent l’idée du même déplacement. Les translations de vecteur $\overrightarrow{AB}$ et de vecteur $\overrightarrow{CD}$ sont identiques.
• Si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$, alors $B = C$.

Propriété 3 Le point $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$.

2.3. Représentant d’un vecteur, vecteur nul, opposé d’un vecteur #

Définition 5 : Représentant Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ peut être représenté à partir de n’importe quel point. Partant du point $C$, on aura $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. On peut le représenter avec une seule lettre : $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF} = \cdots$. On dit que $\overrightarrow{AB}$ est le représentant de $\overrightarrow{u}$ d’origine $A$, $\overrightarrow{EF}$ celui d’origine $E$, etc.

Définition 6 : Vecteur nul Si $A = B$, le déplacement de $A$ vers $B$ est considéré comme nul. On note $\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{0} = \cdots$.

Définition 7 : Opposé d’un vecteur Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont opposés. On note $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont la même direction et la même longueur, mais des sens opposés. La translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$ est la translation réciproque à celle de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

2.4. Norme d’un vecteur #

Définition 8 La norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est la longueur $AB$. On la note $\left| \left| \overrightarrow{AB} \right| \right|$.

Propriété 4 Deux vecteurs sont égaux s’ils ont : même direction, même sens et même norme. Ainsi, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ si et seulement si :

• $(AB) \parallel (CD)$,
• $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont le même sens,
• $AB = CD$.

3. Coordonnées d’un vecteur, base d’un repère #

3.1. Coordonnées d’un vecteur #

Définition 9 Dans un repère, les coordonnées d’un vecteur $\overrightarrow{u}$ sont les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{u}$. Si $M(x, y)$, on note $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ les coordonnées de $\overrightarrow{u}$.

Propriété 5 Dans un repère, si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées : $$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}. $$

Exemple 2

• Si $A(1; 3)$ et $B(4; -1)$, on obtient : $$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}. $$

• Dans le repère $(O, I, J)$, on a : $$ \overrightarrow{OI} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{OJ} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. $$
• Le vecteur $\overrightarrow{0}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Preuve Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont les coordonnées $(x, y)$ du point $M$ tel que $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AB}$. Alors $[OB]$ et $[AM]$ ont le même milieu. Les coordonnées du milieu de $[OB]$ sont $\left( \frac{x_B}{2}, \frac{y_B}{2} \right)$ et celles du milieu de $[AM]$ sont $\left( \frac{x_A + x}{2}, \frac{y_A + y}{2} \right)$. Donc : $$ \frac{x_A + x}{2} = \frac{x_B}{2} \quad \text{et} \quad \frac{y_A + y}{2} = \frac{y_B}{2}. $$ D’où : $$ x = x_B - x_A \quad \text{et} \quad y = y_B - y_A. $$

Propriété 6 Deux vecteurs du plan sont égaux si, et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan.

3.2. Base d’un repère #

Définition 10 Deux vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ forment une base s’ils ne sont pas portés par des droites parallèles.

Remarque 4 On dira plus tard que deux vecteurs portés par des droites parallèles sont colinéaires.

Définition 11 : Base d’un repère La base du repère $(O, I, J)$ est le couple $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$, où $\overrightarrow{i} = \overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{j} = \overrightarrow{OJ}$.

Remarque 5 Comme pour les repères, on distingue trois types de bases :

• Base orthogonale quand les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont portés par des droites perpendiculaires,
• Base orthonormée quand la base est orthogonale et que $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ ont la même norme,
• Base quelconque dans tous les autres cas.

Remarque 6 On note généralement le repère $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.

Propriété 7 : Coordonnée d’un point dans une base repérée Si les coordonnées du point $M$ sont $(x, y)$, on a : $$ \overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}. $$

4. Somme de deux vecteurs #

4.1. Relation de Chasles #

Définition 12 En enchaînant la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ et celle du vecteur $\overrightarrow{v}$, on obtient une nouvelle translation. Le vecteur qui lui est associé est appelé la somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et est noté $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$. L’ordre n’a pas d’importance, autrement dit : $$ \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}. $$ On peut enchaîner trois vecteurs, et le vecteur qu’on obtient est $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}$.

Propriété 8 : Relation de Chasles Pour tous points du plan $A$, $B$ et $C$ : $$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. $$

4.2. Coordonnées de la somme de deux vecteurs #

Propriété 9 Dans un repère du plan, si $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}$, alors : $$ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x + x’ \\ y + y’ \end{pmatrix}. $$

4.3. Règle du parallélogramme #

Propriété 10 Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont la même origine, alors : $$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}, $$ où $D$ est l’unique point tel que $ABDC$ est un parallélogramme.

4.4. Différence de deux vecteurs #

Définition 13 : Opposé d’un vecteur

• Le vecteur $-\overrightarrow{v}$ vérifie $\overrightarrow{v} + (-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{0}$.
• La différence $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ est définie par $\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v})$.

Définition 14 : Différence de deux vecteurs Dans un repère du plan, si $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}$, alors : $$ \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x - x’ \\ y - y’ \end{pmatrix}. $$