I. Différence entre égalité et équation #
Exercice 1 #
Déterminez si l’égalité suivante est vraie pour toutes les valeurs de $x$ ou si elle constitue une équation qui n’est vraie que pour certaines valeurs de $x$ : $$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$$
Exercice 2 #
Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont des identités (vraies pour toutes les valeurs de $x$) ?
- $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
- $2x + 3 = 7$
II. Distributivité #
Exercice 3 #
Développez les expressions suivantes en utilisant la distributivité :
- $2(3x - 5)$
- $3(x + 4)$
- $(x-5)(2x+1)$
- $(x+22)(x-7)$
- $(x-1)(x+2) - (3x+4)(x+3)$
- $(x+8)(3x-4)$
Exercice 4 #
Simplifiez les expressions suivantes en utilisant la distributivité :
- $5(2x + 3) - 4x$
- $6(x - 2) + 3x$
- $(x+5)(x - 2) + 3x(x-1)$
- $(2x+3)(4x - 3) + (8x-2)(x+4)$
- $(3x-4)(2x - 1) + 3x$
- $(2x+6)(3x - 4) + (4x+1)(x-7)$
Exercice 5 #
Factorisez les expressions suivantes en repérant un facteur commun
- $(3x-2)(2x+1) -(2x+3)(3x-2)$
- $(7x-4)(5x+2) -(7x+4)(7x-4)$
- $(1-3x)(11x-5) -(3x-1)(3x-2)$
- $(3x+4)^2 -(2x+3)(3x+4)$
III. Identités remarquables #
Exercice 6 #
Développez les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables :
- $(a + 3)^2$
- $(x - 3)^2$
- $(2x + 5)(2x - 5)$
- $(2x + 5)^2$
- $(3x - 6)^2$
- $(4x - 2)(4x + 2)$
Exercice 7 #
Factorisez les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables :
- $x^2 - 16$
- $9a^2 - 6a + 1$
- $4x^2 - 25$
- $9x^2 - 16$
- $12x^2 - 108$
- $4x^2 + 4x + 1$
IV. Théorème du produit nul #
Exercice 8 #
Résolvez les équations suivantes en utilisant le théorème du produit nul :
- $(x - 3)(x + 5) = 0$
- $(2x - 7)(3x + 4) = 0$
Exercice 9 #
Résolvez les équations suivantes :
- $(x + 2)(x - 4) = 0$
- $(5x - 1)(x + 3) = 0$
V. Théorème du quotient nul #
Exercice 10 #
Résolvez les équations suivantes en utilisant le théorème du quotient nul :
-
$\dfrac{2x}{3} = 0$
-
$\dfrac{5x - 7}{4} = 0$
Exercice 11 #
Résolvez les équations suivantes :
-
$\dfrac{(x + 1)(3x+1)}{x-5} = 0$
-
$\dfrac{(3x - 9)(x+2)}{x-3} = 0$
VI. Choix d’une expression adaptée #
Exercice 12 #
On considère l’expression suivante $f(x) = 4 - (x+2)^2$.
-
Factoriser l’expression de $f$.
-
Développer l’expression initiale de $f$.
-
En choisissant parmi les trois expressions la meilleure, répondre aux questions suivantes :
a. Calculer l’image de 0, de -2, de 4 par $f$ b. Résoudre $f(x) = 0$ c. Résoudre $f(x) = g(x)$ où $g(x) = 4$
Exercice 13 #
On considère l’expression suivante $f(x) = (x-2)^2 - (x-2)(2x+1)$.
-
Factoriser l’expression de $f$.
-
Développer l’expression initiale de $f$.
-
En choisissant parmi les trois expressions la meilleure, répondre aux questions suivantes :
a. Calculer l’image de 2, de 0, de $-\dfrac{1}{2}$ par $f$ b. Résoudre $f(x) = 0$ c. Résoudre $f(x) \geq (x-2)^2$
Exercice 14 #
On considère l’expression suivante $f(x) = 3x+3 - (x+1)(x-1)$.
-
Factoriser l’expression de $f$.
-
Développer l’expression initiale de $f$.
-
En choisissant parmi les trois expressions la meilleure, répondre aux questions suivantes :
a. Calculer l’image de -1, de 0, de 4 par $f$ b. Résoudre $f(x) = 0$ c. Résoudre $f(x) \geq 3x+3$
Exercice 15 #
On considère l’expression suivante $f(x) = 9(x-2)^2 - 36$.
-
Factoriser l’expression de $f$.
-
Développer l’expression initiale de $f$.
-
En choisissant parmi les trois expressions la meilleure, répondre aux questions suivantes :
a. Calculer l’image de 0, de 2, de 3 par $f$ b. Résoudre $f(x) = 0$ c. Résoudre $f(x) = -36$
VII. Applications diverses #
Exercice 16 #
Développez et simplifiez l’expression suivante : $$(x + 2)(x - 3)^2$$
Exercice 17 #
Factorisez l’expression suivante : $$4x^3 - 9x$$
Exercice 18 #
Résolvez l’équation suivante : $$x^2 - 2x + +1 = 4x^2 + 4x + 1$$
Exercice 19 #
Résolvez l’inéquation suivante : $$(2x + 3)(x + 2) < 6$$
Exercice 20 #
Trouvez les valeurs de $x$ qui satisfont à l’équation suivante : $$(x-4)^2=(3x+2)^2$$
Exercice 21 #
Résolvez l’équation suivante en utilisant les identités remarquables : $$(x + 5)^2 = (3x - 5)^2$$