1. Problèmes de longueur et d’angles #
1.1. Calculer des longueurs #
Propriété 1 : Théorème de Pythagore Dans tout triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a la relation de Pythagore : $$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $$ Réciproquement, lorsque les côtés d’un triangle vérifient la relation $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Remarque 1 Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors le triangle n’est pas rectangle en $A$.
Exemple 1 Dans le triangle $DEF$ rectangle en $E$ : $$ \begin{array}{lrl} & DF^2 &= ED^2 + EF^2 \ \Leftrightarrow & 5^2 &= 4^2 + EF^2 \ \Leftrightarrow & 25 &= 16 + EF^2 \ \Leftrightarrow & EF^2 &= 25 - 16 \ \Leftrightarrow & EF^2 &= 9 \ \Leftrightarrow & EF &= \sqrt{9} = 3 \end{array} $$
Propriété 2 : Théorème de Thalès
On considère l’une des configurations ci-dessous, dite de Thalès.
Si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, alors les longueurs des triangles $SAB$ et $SDC$ sont proportionnelles et on a $\dfrac{SA}{SC} = \dfrac{SB}{SD} =\dfrac{AB}{CD}.$
Réciproquement, si les côtés des triangles $SAB$ et $SDC$ sont proportionnels, alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
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1.2. Calculer des angles #
Propriété 3 : Relations trigonométriques Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, les côtés et les angles sont liés par des relations trigonométriques : $$ \cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} \quad ; \quad \sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} \quad ; \quad \tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB} $$
Exemple 2 Dans le triangle $DEF$ rectangle en $E$ : $$ \begin{array}{rl} \cos \widehat{D} &= \dfrac{ED}{FD} \ \cos \widehat{D} &= \dfrac{4}{5} \ \widehat{D} &= \cos^{-1} \left( \dfrac{4}{5} \right) \approx 36.9^\circ \end{array} $$
Remarque 2 La trigonométrie permet de calculer des longueurs ou des angles.
Propriété 4 Pour tout angle aigu $\alpha$ d’un triangle rectangle, on a la relation trigonométrique suivante : $$ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $$
Propriété 5 Dans un triangle, la somme des angles fait $180^\circ$.
Propriété 6 Deux droites parallèles et une sécante engendrent des angles alternes-internes et correspondants, de même mesure.
2. Configurations du plan #
2.1. Quadrilatères particuliers #
| Les côtés | Les diagonales | Les symétries | |
|---|---|---|---|
Parallélogramme  |
$(AB) \parallel (DC)$ et $(AD) \parallel (BC)$ ou $(AB) \parallel (DC)$ et $AB = DC$ | Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont même milieu $O$. | $O$ est le centre de symétrie |
Rectangle  |
C’est un parallélogramme et $(AB) \perp (AC)$ | $AC = BD$ | Les médiatrices de $[AD]$ et de $[AB]$ sont des axes de symétrie |
Losange  |
C’est un parallélogramme et $AB = AD$ | $(AC) \perp (BD)$ | Les diagonales sont des axes de symétrie |
Carré  |
C’est un parallélogramme et $(AB) \perp (AD)$, $AB = AD$ | $(AC) \perp (BD)$, $AC = BD$ | Les médiatrices de $[AD]$ et $[AB]$ ainsi que les diagonales sont des axes de symétrie |
Exemple 3
Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme car ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu. Ses diagonales ont la même longueur, donc c’est un rectangle.
Remarque 3 Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
2.2. Cercles et angles #
Définition 1 $O$ est un point et $r$ est un nombre réel strictement positif. L’ensemble des points $M$ du plan vérifiant $OM = r$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $r$.
Vocabulaire :
- $[OA]$ est un rayon,
- $[BB’]$ est un diamètre,
- $\widehat{BB’A}$ est un angle inscrit,
- $\widehat{BOA}$ est un angle au centre,
- $[AB]$ est une corde,
Propriété 7 Lorsqu’un angle inscrit $\alpha$ intercepte le même arc qu’un angle au centre $\beta$, alors : $$ \beta = 2\alpha $$
Exemple 4
Puisque l’angle au centre $\widehat{BOC}$ intercepte le même arc $\wideparen{CB}$ que l’angle inscrit $\widehat{BDC}$, alors : $$ \widehat{BDC} = \dfrac{1}{2} \widehat{BOC} = 25^\circ $$
Définition 2 La tangente à un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ en un point $M$ est la droite passant par $M$ et perpendiculaire au rayon $[OM]$. Elle coupe le cercle $\mathcal{C}$ en l’unique point $M$.
3. Droites remarquables du triangle #
3.1. Médiatrices #
Définition 3 La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points du plan équidistants des extrémités de ce segment.
Propriété 8 C’est la droite passant par le milieu et perpendiculaire à ce segment.
Propriété 9 Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point $O$ appelé centre du cercle circonscrit au triangle.
Exemple 5
Remarque 4 Lorsque le triangle est rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
3.2. Autres droites remarquables du triangle #
Définition 4
- Une hauteur est une droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
- Une médiane est une droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet.
- La bissectrice d’un angle est la demi-droite passant par un sommet de cet angle et qui le coupe en deux angles égaux.
Propriété 10 Dans un triangle :
- les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle,
- les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle,
- les trois bissectrices sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit au triangle.
Propriété 11 Dans $ABC$ isocèle en $A$, la médiane et la hauteur issue de $A$, la bissectrice de $\hat{A}$ et la médiatrice de $[BC]$ sont confondues.
4. Projeté orthogonal d’un point sur une droite #
Soit $D$ une droite du plan et $A$ un point.
Définition 5 On appelle projeté orthogonal de $A$ sur $D$ le point d’intersection de la droite $D$ avec la perpendiculaire à $D$ passant par $A$.
Exemple 6 $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $D$.
Propriété 12 La distance du point $A$ à la droite $D$ est la plus petite distance séparant un point de $D$ avec $A$. Elle est égale à $AH$, où $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur $D$.
Preuve Notons $d$ la distance entre $A$ et $D$. Soit $M$ un point de $D$, distinct de $H$. Le triangle $AHM$ est rectangle en $H$. Grâce au théorème de Pythagore, on peut affirmer que l’hypoténuse $[AM]$ est le plus grand des côtés du triangle $AHM$. Donc $AM > AH$. Ainsi, la plus petite distance séparant $A$ d’un point de $D$ est égale à $AH$. On en déduit que $AH = d$.