Multiples et diviseurs

1. Multiples et diviseurs dans $\mathbb{Z}$ #

1.1. Rappels : Ensembles $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ #

Définition 1

L’ensemble des entiers naturels $\{0, 1, 2, \ldots\}$ est noté $\mathbb{N}$.
L’ensemble des entiers relatifs $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ est noté $\mathbb{Z}$.

Propriété 1

La somme, la différence et le produit de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.

Propriété 2

La division euclidienne de deux entiers relatifs donne des entiers relatifs : Pour tout entier $a$ et $b$, avec $b$ non nul, il existe un unique couple d’entiers relatifs $q$ et $r$ tels que : $$ a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < |b| $$ $q$ est appelé quotient et $r$ reste de la division.

Exemple 1

$37 = 5 \times 7 + 2$. La division euclidienne de $37$ par $5$ a pour quotient $7$ et reste $2$. On a bien $0 \leq 2 < 5$.
$37 = 5 \times 4 + 17$. $4$ et $17$ ne conviennent pas car $17$ est plus grand que $5$.

1.2. Multiples et diviseurs dans $\mathbb{Z}$ #

Définition 2

Soient deux entiers relatifs $n$ et $p$. S’il existe un entier $q$ tel que $n = p \times q$, c’est-à-dire si le reste de la division euclidienne de $n$ par $p$ est nul, on dit que :

$p$ est un diviseur de $n$ ou que $n$ est divisible par $p$.
$n$ est un multiple de $p$.

Exemple 2

$12 = 4 \times 3$ : $12$ est un multiple de $4$, $4$ divise $12$.

Remarque 1

Tout nombre entier relatif non nul a au moins deux diviseurs : $1$ et lui-même.
Tout nombre entier relatif admet une infinité de multiples. Les multiples de $n$ sont les nombres qui s’écrivent $k \times n$ où $k \in \mathbb{Z}$.

Propriété 3

On considère trois entiers relatifs $a$, $n$ et $p$. Si les entiers $n$ et $p$ sont des multiples de $a$, alors la somme $n + p$, la différence $n - p$ et le produit $n \times p$ le sont aussi.

Exemple 3

$36$ et $90$ sont multiples de $9$, donc $126 = 90 + 36$ l’est aussi. En effet, $126 = 9 \times 14$. Remarquons aussi qu’on a $36 = 9 \times 4$, $90 = 9 \times 10$ et $126 = 9 \times (4 + 10)$.

Preuve : Pour la somme

$n$ est multiple de $a$, donc il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n = a \times k$. $p$ est multiple de $a$, donc il existe $l \in \mathbb{Z}$ tel que $p = a \times l$. On en déduit que : $$ n + p = a \times k + a \times l = a \times (k + l). $$ Autrement dit, la somme $n + p$ est multiple de $a$.

2. Nombres pairs, nombres impairs #

2.1. Définitions #

Définition 3 et Propriété

On considère un entier naturel $n$.

Si $n$ est divisible par $2$, on dit que $n$ est pair. Il existe alors un entier $p$ tel que $n = 2 \times p$.
Sinon, on dit que $n$ est impair. Il existe alors un entier $p$ tel que $n = 2 \times p + 1$.

Exemple 4

$38$ est un nombre pair car $38 = 2 \times 19$. $17$ est un nombre impair et $17 = 2 \times 8 + 1$.

Preuve

On considère un entier naturel $n$. On effectue la division euclidienne de $n$ par $2$. Il existe donc un entier $p$ (quotient) et un entier $r$ (reste) tels que : $$ n = 2 \times p + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < 2. $$ $r$ est un entier naturel qui vérifie $0 \leq r < 2$, donc $r = 0$ ou $r = 1$.

Si $r = 0$, alors $n$ est pair et $n = 2 \times p$.
Sinon, $n$ est impair et $n = 2 \times p + 1$.

Propriété 4 : Critère de parité

Un entier naturel $n$ est pair si son chiffre des unités est pair, c’est-à-dire égal à $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.

2.2. Parité et somme d’entiers #

Propriété 5

La somme de deux entiers pairs est un entier pair.
La somme de deux entiers impairs est un entier pair.
La somme d’un entier pair et d’un entier impair est un entier impair.

Preuve

Pour deux entiers pairs :

Si $n$ et $m$ sont pairs, il existe $p$ et $q$ tels que $n = 2 \times p$ et $m = 2 \times q$. On a alors : $$ n + m = 2 \times p + 2 \times q = 2 \times (p + q). $$ Donc $n + m$ est pair.
Pour deux entiers impairs :

Si $n$ et $m$ sont impairs, il existe $p$ et $q$ tels que $n = 2 \times p + 1$ et $m = 2 \times q + 1$. On a alors : $$ n + m = 2 \times p + 1 + 2 \times q + 1 = 2 \times (p + q) + 2 = 2 \times (p + q + 1). $$ Donc $n + m$ est pair.

2.3. Parité d’un carré #

Propriété 6

On considère un entier naturel $n$.

Si $n$ est pair, alors son carré $n^2$ est pair.
Si $n$ est impair, alors son carré $n^2$ est impair.

Exemple 5

$12$ est pair et $12^2 = 144$ aussi.
$9$ est impair et $9^2 = 81$ aussi.

Preuve

On considère un entier relatif $n$.

Si $n$ est pair, alors on peut écrire $n = 2 \times k$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Donc : $$ n^2 = (2 \times k)^2 = (2k) \times (2k) = 2 \times (2k^2). $$ Donc $n^2$ est pair.
Si $n$ est impair, alors on peut écrire $n = 2 \times k + 1$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Donc : $$ n^2 = (2k + 1)^2 = (2k + 1) \times (2k + 1) = (2k)^2 + 2k + 2k + 1 = 2 \times (2k^2 + k + k) + 1. $$ Donc $n^2$ est impair. On peut aussi employer l’identité remarquable $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ et obtenir le même résultat.

Propriété 7

La réciproque de ce théorème est vraie :

Si le carré $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
Si le carré $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.