Probabilités

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1. Modélisation d’une expérience aléatoire #

On lance un dé cubique et on note le numéro de la face supérieure.

Cette expérience est une expérience aléatoire dont les issues (ou résultats possibles) sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. L’ensemble des issues est $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$.

1.1. Définition #

Définition 1 Définir un modèle de probabilité pour une expérience aléatoire consiste à :

• préciser l’ensemble des issues possibles : $\Omega = {x_1, x_2, \ldots, x_n}$,
• attribuer à chacune des issues $x_i$ un nombre $p_i$, compris entre 0 et 1, appelé probabilité de $x_i$, de sorte que l’on ait $p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$.

Les probabilités sont des nombres entre 0 et 1 inclus.

1.2. Choix d’un modèle #

Il y a deux façons de déterminer les probabilités $p_i$ des issues $x_i$ :

1.2.1. Par l’observation statistique des fréquences #

Lorsque l’on répète $n$ fois, de façon indépendante, une expérience aléatoire, la fréquence $f$ d’une issue a tendance à se stabiliser, lorsque $n$ devient grand, autour d’une valeur $p$. On prend alors cette valeur $p$ comme probabilité de l’issue.

Exemple 1 Si on lance un dé « truqué » : on réalise une étude statistique (en lançant le dé un grand nombre de fois), puis on choisit une distribution de probabilité en accord avec les fréquences observées des issues. Ce peut être, par exemple :

1.2.2. Par le choix de l’équiprobabilité #

Dans une situation d’équiprobabilité, les $n$ issues de l’expérience aléatoire ont la même probabilité de se produire. La probabilité d’une issue est $\dfrac{1}{n}$.

Le choix de ce modèle peut être influencé par certains indices figurant dans la description de l’expérience :

• « On tire au hasard »,
• « Les dés sont supposés équilibrés »,
• « Les boules sont indiscernables au toucher », etc.

Exemple 2 Si on lance un dé cubique équilibré : on attribue à chaque issue la même probabilité $\frac{1}{6}$.

Probabilités pour un dé équilibré

2. Probabilité d’un événement #

2.1. Définitions #

On lance un dé cubique et l’on considère l’événement $A$ : « Obtenir au moins 5 ».

Les issues favorables à $A$ (qui réalisent $A$) sont 5 et 6 ; on note $A = {5, 6}$.

Pour un dé truqué, si $p(5) = 0.2$ et $p(6) = 0.3$, alors $p(A) = 0.2 + 0.3 = 0.5$.

Pour un dé équilibré, $p(5) = p(6) = \frac{1}{6}$. Alors $p(A) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

2.2. Définitions #

Définition 2 Un événement $A$ est un sous-ensemble de $\Omega$ (ensemble des issues). Sa probabilité $p(A)$ est la somme des probabilités des issues favorables à $A$.

• Pour tout événement $A$, $0 \leq p(A) \leq 1$ et $p(\Omega) = 1$ ($\Omega$ est dit certain).
• Quand on lance un dé cubique, l’événement $B$ « obtenir un 7 » n’a aucune issue favorable. Il est impossible et $p(B) = 0$.

2.3. Propriété #

Propriété 1 Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement $A$ est : $$ p(A) = \frac{\text{nombre d’issues favorables à } A}{\text{nombre d’issues possibles}}. $$

3. Opération sur les événements #

3.1. Définitions #

Si $A$ et $B$ sont deux événements :

• $\overline{A}$, événement contraire de $A$, est l’ensemble des issues qui ne réalisent pas $A$,
• $A \cap B$ est l’ensemble des issues qui réalisent $A$ et $B$ (les deux à la fois),
• $A \cup B$ est l’ensemble des issues qui réalisent $A$ ou $B$ (au moins l’un des deux).

3.2. Exemples #

Au lancer d’un dé cubique :

3.3. Propriétés #

Propriété 2 Soit $A$ et $B$ deux événements :

• $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$,
• $p(A \cup B) + p(A \cap B) = p(A) + p(B)$.

Si $A$ et $B$ ne peuvent être réalisés en même temps, $A$ et $B$ sont dits incompatibles. Dans ce cas, $p(A \cap B) = 0$, d’où $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.