Les nombres réels

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1. Les ensembles de nombres #

Propriété 1 (Admise) #

On peut associer à tout point $M$ d’une droite graduée $\mathcal{D}$ un nombre appelé abscisse de $M$.

Définition 1 #

L’ensemble des abscisses des points de $\mathcal{D}$ est appelé ensemble des réels. Il est noté $\mathbb{R}$.

Exemple 1 #

L’abscisse du point $O$ est $0$, celle de $I$ est $1$, celle de $A$ est $-\frac{7}{3}$ et celle de $P$ est $\pi$.

Définition 2 #

Durant les années antérieures, on a construit différents ensembles de nombres imbriqués. $\mathbb{R}$ les contient tous.

Propriété 2 #

Les ensembles de nombres sont contenus les uns dans les autres : $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $$

Propriété 3 #

Les nombres rationnels de l’ensemble $\mathbb{Q}$ peuvent s’écrire $\frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$. Ils admettent une écriture décimale qui se termine ou qui se répète.

Exemple 2 (Nombres rationnels) #

$\frac{1}{3} = 0,3333\underline{3} \qquad \frac{1}{10} = 0,1 \qquad \frac{324}{11} = 29,45\underline{45}$ On souligne les chiffres qui se répètent.

Remarque 1 #

Les décimaux, dont l’ensemble est noté $\mathbb{D}$, sont les nombres qui admettent une écriture décimale qui se termine comme $\frac{246}{128} = 1,921875$.

Méthode 1 #

Démontrer qu’un nombre n’est pas un décimal.

Méthode 2 #

Démontrer qu’un nombre n’est pas un rationnel.

Remarque 2 #

L’un des objectifs de cette année est de répondre à la question générale : ce nombre $x$ est-il dans cet ensemble $E$ ?

2. Intervalles #

Définition 3 #

Soient $a$ et $b$ deux réels. L’ensemble des réels $x$ tels que $a \leq x \leq b$ est noté $[a~;~b]$. C’est l’intervalle des nombres compris entre $a$ et $b$, bornes incluses.

Il existe plusieurs sortes d’intervalles, selon leurs bornes :

Intervalle	Inéquation	Représentation graphique
$[a ; b]$	$a \leq x \leq b$
$[a ; b[$	$a \leq x < b$
$]a ; b]$	$a < x \leq b$
$]a ; b[$	$a < x < b$
$[a ; +\infty[$	$a \leq x$
$]a ; +\infty[$	$x > a$
$]-\infty ; b[$	$x < b$
$]-\infty ; b]$	$x \leq b$

Le symbole $\infty$ se lit « infini ». Ce n’est pas un nombre réel. Du côté de l’infini, le crochet est toujours tourné vers l’extérieur : $]-\infty;3]$ ou $]4;+\infty[$.

Méthode 3 #

Représenter un intervalle sur une droite graduée

Définition 4 #

Soient $I$ et $J$ deux intervalles.

1. L’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$ est appelé l’intersection de $I$ et $J$. Cet ensemble est noté $I \cap J$.
2. L’ensemble des réels qui appartiennent à $I$ ou à $J$ est appelé la réunion de $I$ et $J$. Cet ensemble est noté $I \cup J$.

Exemple 3 (Intersections et réunions d’intervalles) #

1. $[4;5] \cap [2;3] = \emptyset$
2. $[2;5] \cap [2;3] = [2;3]$
3. $[4;7] \cap [6;8] = [6;7]$
4. $[4;7] \cup [6;8] = [4;8]$

Méthode 4 #

Déterminer l’intersection, la réunion de deux intervalles

Propriété 4 (Résolution d’équations affines) #

On considère une expression affine : $ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels avec $a \neq 0$. L’équation $ax + b = 0$ admet pour unique solution $x = -\frac{b}{a}$.

Méthode 5 (Résolution d’inéquations affines) #

Toutes les inéquations affines se résolvent de la même manière, en remplaçant l’inégalité par le symbole correspondant.

Résolvons $ax + b > 0$ : $$ax + b > 0 \Leftrightarrow ax > -b \qquad (I)$$

• Si $a > 0$, $(I) \Leftrightarrow x > -\frac{b}{a}$. Les solutions sont $\left]-\frac{b}{a}; +\infty\right[$.
• Si $a < 0$, $(I) \Leftrightarrow x < -\frac{b}{a}$. Les solutions sont $\left]-\infty; -\frac{b}{a}\right[$.

Propriété 5 (Signe d’une expression affine : le tableau de signes) #

On peut résumer toutes les solutions d’inéquations affines dans un tableau de signe :

Si $a<0$ $$ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & -\frac{b}{a} & & +\infty \\ \hline ax+b & & + & 0 & - & \\ \hline \end{array} $$ Lecture du tableau : Le symbole $+$ signifie que si $x < -\frac{b}{a}$ alors $ax + b > 0$.

Si $a>0$

$$ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & -\frac{b}{a} & & +\infty \\ \hline ax+b & & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} $$

Méthode 6 #

Résoudre une inéquation

3. Encadrer un réel par deux nombres #

Définition 5 #

On dit que les nombres réels $a$ et $b$ encadrent le nombre réel $x$ si : $$a < x < b$$ $b - a$ est l’amplitude de cet encadrement.

Théorème (Admis) #

Tout nombre réel $x$ peut être encadré par deux nombres décimaux avec une amplitude choisie.

Exemple 4 #

• $1,2 < \sqrt{2} < 2$ est un encadrement de $\sqrt{2}$ d’amplitude $0,8$.
• $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$, encadrement d’amplitude $0,1$ (au dixième).
• $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$, encadrement d’amplitude $0,01$ (au centième).

Vocabulaire :

• $1,41$ est une valeur approchée par défaut,
• $\sqrt{2}$ est la valeur exacte,
• $1,42$ est une valeur approchée par excès.

Méthode 7 #

Trouver des valeurs approchées d’un nombre réel.

4. Valeur absolue d’un nombre réel #

Définition 6 #

On appelle valeur absolue d’un nombre réel $a$, le nombre noté $|a|$ et défini par : $$ |a|= \begin{cases} a & \text{si } a \geq 0, \ -a & \text{si } a < 0. \end{cases} $$

Exemple 5 #

$|3| = 3$ car $3 > 0$, $|-2| = -(-2) = 2$ car $-2 < 0$.

Propriété 5 (Admise) #

• Pour tout nombre réel $a$, $|a| \geq 0$,
• $a$ et $-a$ ont la même valeur absolue,
• $|a - b| = |b - a|$ ; $|a \times b| = |a| \times |b|$ et $|a + b| \leq |a| + |b|$.

Définition 7 (Distance entre deux nombres réels) #

La distance entre les réels $a$ et $b$ est $|b - a|$. C’est ce qu’on appelle souvent l’écart entre ces nombres.

Exemple 6 #

La distance entre $3,5$ et $10$ est $|10 - 3,5| = |6,5| = 6,5$.

Remarque 3 #

On réalise d’abord les additions et soustractions dans les valeurs absolues avant d’essayer de les enlever.

Méthode 8 #

Résoudre des inéquations et des équations comportant des valeurs absolues.