Binaire - TD

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Binaire #

1. Conversion binaire vers décimal. #

Donnez les valeurs entières décimales représentées par les nombres :

• 0b101
• 0b10101
• 0b0101
• 0b00101
• 0b1101 1101
• 0b1001 0111
• 0b1011 1000

2. Examen d’une représentation binaire #

On considère a = 0b1010 0110 et b = 0b11 1101

Dans cet exercice on essaye d’éviter de passer par le décimal

1. Lequel des deux est le plus grand ?
2. Ces nombres sont-ils divisibles par 2 ? Pourquoi ?
3. Combien de bits occupe la représentation binaire de a + b ?

3. Conversion décimal vers binaire. #

1. Convertir les nombres suivants en binaire :

   • 12
   • 23
   • 35
   • 127
   • 211
   • 254
   • 231

2. On considère des entiers représentés sur 1 octet. Quel est le plus grand entier représentable ?

3. Calculer mentalement les puissances de 2 jusque $2^{20}$.

4. Comparer les représentations binaires de 16 et 15 ; de 32 et 31 ; de 64 et 63 ?

5. Généralisons : quelles sont les représentations binaire de nombre de la forme $2^k$ et $2^k-1$ ?

6. En remarquant que $2~048=2^{11}$, donner la représentation binaire de $2022$.

   2048 = 0b 1000 0000 xxxx
   2047 = 0b  111 1111 xxxx
     25 = 0b         1 xxxx
   2022 = 0b  111 1110 xxxx
   

4. Binaire et python #

Python permet d’obtenir la représentation binaire d’un entier à l’aide de la fonction bin. Voici ce qu’on obtient avec help(bin) :

Help on built-in function bin in module builtins:

bin(number, /)
    Return the binary representation of an integer.

    >>> bin(2796202)
    '0b1010101010101010101010'

Inversement, la conversion d’une base $b$ vers la représentation décimale s’obtient en passant à int une chaîne de caractères ainsi que la base.

Voici ce qu’on obtient avec help(int)

class int(object)
 |  int([x]) -> integer
 |  int(x, base=10) -> integer
 |
 |  Convert a number or string to an integer, or return 0 if no arguments
 |  are given.  If x is a number, return x.__int__().  For floating point
 |  numbers, this truncates towards zero.
 |
 |  If x is not a number or if base is given, then x must be a string,
 |  bytes, or bytearray instance representing an integer literal in the
 |  given base.  The literal can be preceded by '+' or '-' and be surrounded
 |  by whitespace.  The base defaults to 10.  Valid bases are 0 and 2-36.
 |  Base 0 means to interpret the base from the string as an integer literal.
 |  >>> int('0b100', base=0)
 |  4

1. Quelle instruction saisir pour obtenir la représentation décimale de 0b1101001 ?

2. $x$ est un entier dont la réprésentation binaire est 110100. Donner deux instructions différentes permettant d’obtenir sa représentation décimale.

3. Quel sera le résultat des instructions suivantes ?

   >>> bin(123)
   >>> int("0b1111")
   >>> int("0b10101", 2)
   >>> bin(0)
   >>> int("0b101211", 2)
   

4. Python accepte la notation 0b110 pour représenter un entier, en l’occurence 6…

   Qu’obient-on pour les opérations suivantes ?

   >>> 0b101 + 2
   >>> bin(0b110 + 0b1110)
   

5. Capacité #

Dépassement de capacité : si l’on représente des nombres sur une taille fixe, par exemple 8 bits, alors on ne peut dépasser $0b1111~1111 = 255$. Toute opération dont le résultat dépasse $255$ provoque un dépassement de capacité.

1. Parmi les additions suivantes, lesquelles vont provoquer un dépassement de capacité lorsque les nombres sont encodés sur 8 bits ?

   • $1111\hspace{2mm}1011 + 1001\hspace{2mm}1111$
   • $1001\hspace{2mm}1011 + 0111\hspace{2mm}1011$
   • $0011\hspace{2mm}1011 + 1001\hspace{2mm}1001$
   • $1010\hspace{2mm}1011 + 0001\hspace{2mm}0100$

2. La taille d’une somme binaire nécessite de connaître les valeurs manipulées. Ce n’est pas le cas d’un produit.

   Quelle sera le nombre de bits des valeurs suivantes ?

   • $0110 \times 1100$
   • $1111\hspace{2mm}0011 \times 1101\hspace{2mm}0101$