8. Statistiques à deux variables

8. Statistiques à deux variables

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Statistiques à deux variables #

1. Nuage de points #

Une série statistique est composée de plusieurs valeurs similaires. Lorsque ces valeurs sont des paires de nombres on parle de série à deux variables.
On représente alors graphiquement ces valeurs en traçant un nuage de points.

Définition #

On appelle nuage de points, l’ensemble des points $M_i$ de coordonnées $(x_i;y_i)$.

Exemple #

On étudie la part de la dépense de consommation alimentaire dans le revenu disponible brut des ménages français de 1980 à 2010 (source : \textsc{Insee}).

Année 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
Dépenses (%) 18,9 19,4 18,7 17,8 17,6 17,1 16,6

On représente le nuage de points en prenant en $x$ les années et en $y$ les dépenses :

Nuage de points


2. Point moyen et droite d’ajustement #

Point moyen #

Soit une série statistique à deux variables $x$ et $y$ de moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

Le point $G$ de coordonnées $(\bar{x};\bar{y})$ avec $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i} \quad\text{ et }\quad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{y_i}$$ est appelé le \emph{point moyen} du nuage.

Exemple #

Dans la série des ménages le points moyen a pour coordonnées :

$$x_G = \dfrac{1980 + 1985 + 1990 + 1995 + 2000 + 2005 + 2010}{7} = 1995$$

$$y_G = \dfrac{18.9 + 19.4 + 18.7 + 17.8 + 17.6 + 17.1 + 16.6}{7} \approx 18$$

Donc le point moyen est $G(1995, 18)$.

Point moyen


3. Droite d’ajustement #

Droite d’ajustement #

Toute droite passant par le point moyen du nuage et “résumant approximativement” le nuage est appelée droite d’ajustement du nuage de points.

1. Au jugé #

On trace “au jugé” une droite passant par le point moyen du nuage qui semble résumer le nuage de points. C’est une méthode simple mais qui dépend de la droite tracée.

Droite d’ajustement au jugé

2. Interpolation et extrapolation #

En utilisant une droite d’ajustement on peut prédire des valeurs manquantes.

  • Lorsque la valeur à prédire est entre les valeurs extrèmes, on parle d’interpolation
  • Lorsque la valeur à prédire est en dehors des valeurs extrèmes, on parle d’extrapolation

Exemples #

D’après la figure précédente :

  1. Interpoler la consommation des ménages en 2002
  2. Extrapoler la consommation des ménages en 1970 puis en 2020.
  1. En 2002 on lit approximativement 17.4% (d’alimentaire dans la consommation des ménages)
  2. En 1970, on lit environ 20% et en 2020 on lit environ 16.2%.

3. Méthode des moindres carrés et droite de régression linéaire #

La méthode des moindres carrés consiste à chercher la meilleure droite d’ajustement possible selon un critère particulier.

L’objectif est de minimiser l’aire des carrés entre un points du nuage et le point de la droite ayant la même abscisse.

Droite de regression #

Il existe une droite qui minimise ces aires, elle est appelée droite de regression linéaire

Droites de regression linéaire

Donner la droite de régression c’est écrire son équation sous la forme $y=ax+b$.

Numworks #

La calculatrice Numworks permet de dessiner les nuages de points et d’obtenir la droite de régression.

Menu Regression, saisir les valeurs en $X$ et $Y$. Monter, aller sur Graphique, descendre jusqu’à Régression, choisir Linéaire et lire $a$ et $b$.

Tableau de valeurs sur la NumworksRégression linéaire sur la Numworks

On peut maintenant tracer et on a tout sur un seul écran !

Nuage de points et droite de régression linéaire

Pour l’exemple précédent (consommation des ménages), on lit :

  • Droite de regression : $y = -0.09x + 197.56$

Coefficient de corrélation linéaire #

Le nombre $r$, appelé coéfficient de corrélation linéaire, est un indicateur de la qualité de cette regression.

Il doit être proche (très proche) de 1 si la droite monte, de -1 si la droite descend.

Pour l’exemple précédent (consommation des ménages), on lit :

  • Coéfficient de corrélation linéaire : $r = -0.954$.

Ce n’est pas mauvais… mais on étudiera des régressions avec $r\approx \pm 0.99$

Utiliser la droite de régression linéaire #

Pour estimer (interpoler ou extrapoler) une nouvelle valeur, il suffit d’utiliser l’équation $y=ax+b$ et de remplacer $x$ par la nouvelle valeur.

Exemple #

Toujours avec la consommation des ménages on a lu $y=-0.09x + 197.564$

  1. Extrapoler la part de l’alimentaire en 1970.
  2. Extrapoler la part de l’alimentaire en 2020.
  3. Peut-on prédire quand la part d’alimentaire dans la consommation devrait passer sous les 15% ?
  1. Pour estimer la consommation des ménages en 1970, on fait : $y = -0.09 \times 1970 + 197.564 =20.264$.
    On estime qu’en 1970, la part de l’alimentaire dans la consommation était de 20.26%

  2. Pour estimer la consommation des ménages en 2020, on fait : $y = -0.09 \times 2020 + 197.564 =15.764$.
    On estime qu’en 2020, la part de l’alimentaire dans la consommation était de 15.76%

  3. Cette fois, il faut faire attention ! Ce 15% est une ordonnée. On part donc de $y=15$ et on cherche l’abscisse correspondant sur la droite.

    * _Graphiquement_
    
        La figure précédente ne fait pas apparaître ce point, on peut changer les axes :
    
        ![Après changement d'axes](./numworks_4_edited.png)
    
        On lit $x=2028$ et $y=15$.
    
    * _Par le calcul_,
    
        on résout :
        $$-0.09x + 197.564 = 15 \Longleftrightarrow -0.09x = 15 - 197.564$$
        $$\Longleftrightarrow -0.09x=-182.564 \Longleftrightarrow x= \dfrac{-182.564}{-0.09} \approx 2028.48$$
    
        C'est bien entre 2028 et 2029 que la part de l'alimentaire dans la consommation des ménages devrait passer sous les 15%.
    

4. Transformation des données #

Il arrive que certains nuages aient une “forme particulière”… qui n’est pas rectiligne.

Considérons la production d’énergie renouvelable depuis 1940, exprimée en megawatt.

Année 1950 1960 1980 1990 2000 2010 2020 2030
$x_i$ 10 20 30 40 50 60 70 80
$y_i$ 1.628 2.653 4.322 7.03 11.46 18.68 30.42 49.56

DonnéesNuage non rectiligne

Le nuage n’est pas rectiligne mais courbe et présente une évolution exponentielle.

On est tenté de le rectifier avec la fonction log.

Voici ce qu’on obtient avec la transformation $Z = \log(Y)$

Nuage rectifié

On constate que le nuage est plus rectiligne et que le coefficient de corrélation linéaire est plus proche de 1.

La regression linéaire de ce nuage est donc meilleure que celle du nuage initial.

Application #

Extrapoler la valeur de $Y$ pour $X=90$

  1. On donne d’abord la valeur de $Z$ correspondant en utilisant la regression $z = 0.021x+0.0009286$

  2. On effectue la transformation inverse de $Z = \log(Y) \Longleftrightarrow 10^Z = Y$

  1. $z = 0.021 \times 90 + 0.0009286 \approx 1.8909286$
  2. On remplace et $y = 10^{1.8909286} \approx 77.89$