Modèles démographiques

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1. Exemple introductif : Population de la France entre 1980 et 2015 (en millions d’habitants) #

Sources : Insee

On considère une population dont l’effectif évolue par palier, passant de la valeur $u(n)$ au palier $n$ à l’effectif $u(n+1)$ au palier $n+1$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on appelle variation absolue la différence $u(n+1)-u(n)$

Question :

Compléter le tableau ci-dessus

2. Outil mathématique : Évolution linéaire #

On parle d’évolution linéaire lorsque pour une population, la variation absolue est (presque) constante d’un palier à l’autre. En notant $r$ cette constante, on peut modéliser l’évolution par une suite arithmétique de raison $r$. On a $u(n+1)-u(n) = r$, soit $u(n+1)= u(n) + r, \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}$.

$$u(0)\xrightarrow{+r} u(1)\xrightarrow{+r} u(2)\xrightarrow{+r} u(3) \xrightarrow{+r} \cdots$$

Le nombre d’habitants s’exprime en fonction de $n$ par : $$u(n) = \ldots\ldots$$

Vidéo :

Graphiquement #

Dans le cas d’une évolution linéaire, les points de coordonnées $(n;u_n)$ sont (presque) alignés.

On peut alors ajuster le nuage de points par une droite d’équation $y=ax+b$, par exemple :

• à l’aide d’un tableur (outil “courbe de tendance”) ou de la calculatrice (outil RégLin(ax+b))

• en prenant $a=r$ pour coefficient directeur puis en calculant $b$ à l’aide d’un point de la droite.

3. Modélisation mathématique de la population française (1980-2015) #

Modèle 1 : avec une suite arithmétique

Modèle 2 : avec une droite d’ajustement

Questions #

1. Doc. 1 – Calculer les variations absolues et compléter la colonne 4 du tableau. Commentez.
2. Doc. 2 – Indiquer comment reconnaître une évolution dite linéaire.
3. Doc. 2 – Retrouver et justifier l’équation de la droite orange.
4. Doc. 1 et 3 – Pourquoi avoir choisi $r=1,5$ dans le modèle 1 ? Le modèle linéaire est-il adapté ?
5. Doc. 3 – En exploitant les modèlisations, estimer le nombre d’habitants en France en 2030. En 2100.