5. Fonctions exponentielles

5. Fonctions exponentielles

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Fonctions exponentielles #

1. Définition & propriétés #

Introduction #

On considère la suite géométrique de raison $a$, définie par $u_n=a^n$. Elle est définie pour tout $n \in \mathbb{N}$. On peut prolonger son ensemble de définition à $\mathbb{R}$ tout entier avec $f(x)=a^x$.

On peut ainsi donner une image à des nombres non entiers comme 3.5.

Définition #

La fonction $f,$ définie sur $\mathbb{R}$ avec $a>0$ par $f(x) = a^x$ est la fonction exponentielle de base $a$.

Exemple #

La fonction exponentielle de base 2 est définie par $f(x)=2^x$.

Exponentielle de base 2

Propriétés algébriques #

  • La fonction exponentielle de base $a$ est toujours positive.

  • Pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$, $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$.

  • $a^0 = 1$, $a^1=a$

  • $a^{x+y} = a^x \times a^y$

  • $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$

  • $(a^{x})^y = a^{xy}$


2. Variations #

Si $0 < a < 1$, $x \mapsto a^x$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ #

Expo. décroissante

Si $a > 1$, $x \mapsto a^x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ #

Expo. croissante


3. Utiliser une fonction exponentielle #

Hz. capitale du monde #

La population d’Hz. ne cesse de croitre ! La qualité indéniable de son lycée en fait une des villes les plus attractives du monde.

Suite à des relevés très précis, le maire décide de modéliser la population d’Hz. avec la fonction exponentielle $f(x) = 30000 \times 1.3^x$ où $x$ est le nombre d’année après 2020.

  1. Quel est le sens de variation de la population d’après ce modèle ?
  2. Calculer la population d’Hz. en 2021, en 2022
  3. Calculer les valeurs successives jusqu’à dépasser $100000$ habitants puis $1000~000$
  1. La fonction exponentielle de base 1.3 est croissante, multiplier par $30~000$ ne change pas les variations donc la population est croissante.

  2. En 2021, la population d’Hz. s’élève à $f(1) = 30000 \times 1.3^1 = 39000$

    En 2022, la population s’élève à $f(2) = 30000 \times 1.3^2 = 50700$

  3. En zappant quelques valeurs intermédiaires on a :

    $x$ $f(x)$
    4 $85~683$
    5 $111~388$
    13 $908~626$
    14 $1181213$

    La population d’Hz. dépassera $100~000$ en 2025 et un million en $2034$.

    Tableau de valeurs sur la Numworks Graphe sur la Numworks

Ce modèle, totalement irréaliste, illustre une propriété de la fonction exponentielle de base $a>1$ : elle explose rapidement vers l’infini !

Les bactéries inarrêtables #

Le nombre de bactéries présentes dans un organisme suite à une infection est modélisé par $f(x) = 50000 \times 1.5^x$ où $x$ est en heures.

  1. Donner un arrondi au millier du nombre de bactéries après 30 minutes et après 1h30
  2. Déterminer les variations de $f$ sur [0; 10]
  3. Déterminer le temps nécessaire pour que la population double.

  1. Après 30 minutes, soit 0.5 heures, le nombre de bactéries est $f(0.5) = 61000$ environ.

    Après 1h30, soit 1.5 heures, le nombre de bactéries et de $f(1.5) = 92000$ environ.

  2. La fonction exponentielle de base $1.5$ est croissante donc $f$ aussi.

  3. On a remarqué que $f(1.5)$ est presque le double de 50000.

    Essayons $f(2) = 111000$ environ et $f(1.71) = 100000$ environ.

    Il faut donc 1.7 heures = 1h et $0.7 \times 60$ minutes, soit 1h42 pour doubler la population (environ…)

Cette modélisation est beaucoup plus réaliste. Elle peut durer jusqu’à une infection complète de l’hôte.

4. Taux d’évolution moyen #

Les fonctions exponentielles permettent de modéliser facilement des accélérations.

Exemple #

Entre 2012 et 2015, le prix du gaz a augmenté de 25%. Calculer le taux d’évolution annuel moyen.

Notons $t$ ce taux, le coefficient multiplicateur d’une augmentation annuelle est $1 + \dfrac{t}{100}$.

Le coefficient multiplicateur de trois augmentations successives est

$$\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\left(1+\dfrac{t}{100}\right) = \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3$$

Une augmentation de 25% correspond à un coefficient multiplicateur de 1.25 donc on peut poser une équation :

$$\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3 = 1.25 \Longleftrightarrow 1 + \dfrac{t}{100} = 1.25^{\frac{1}{3}}$$ $$\Longleftrightarrow \dfrac{t}{100} = 1.25^{\frac{1}{3}} - 1 \Longleftrightarrow t = 100 \times (1.25^{\frac{1}{3}} - 1)$$ $$\Longleftrightarrow t \approx 7.72%$$

Le prix du gaz a augmenté d’environ $7.72%$ par an entre 2012 et 2015.

Remarque #

On a utilisé la formule suivante :

Pour tout $a>0$ et $x>0$, on a $a^n=x \Longleftrightarrow a = x^{\frac{1}{n}}$

$x^{\frac{1}{n}}$ est la racine énième de $x$.