Le modèle exponentiel #
Enseignement Scientifique - Terminale
Doc 1 – Évolution démographique au Niger entre 2011 et 2019 #
Sources : Banque Mondiale
| Palier numéro $n$ | Année | Population $u(n)$ | Taux de variation |
|---|---|---|---|
| $0$ | $2011$ | $17~114~761$ | |
| $1$ | $2012$ | $17~795~191$ | |
| $2$ | $2013$ | $18~504~255$ | |
| $3$ | $2014$ | $19~240~157$ | |
| $4$ | $2015$ | $20~001~663$ | |
| $5$ | $2016$ | $20~788~838$ | |
| $6$ | $2017$ | $21~602~472$ | |
| $7$ | $2018$ | $22~442~948$ |
Sources : Ined
On considère une population dont l’effectif évolue par palier, passant de la valeur $u(n)$ au palier $n$ à l’effectif $u(n+1)$ au palier $n+1$.
Pour $n \in \mathbb{N}$, on appelle taux de variation le quotient : $$\dfrac{u(n+1)-u(n)}{u(n)}$$
| Population au 01/01/2019 | Nombre de décès en 2019 | Taux de mortalité en 2019 | Nombre de naissances en 2019 | Taux de natalité en 2019 | Population au 01/01/2020 | Taux de variation global |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $23~310~000$ | $186~400$ | $4.6$ |
D’après l’INED, le Niger est le pays d’Afrique qui possède le plus fort taux de natalité.
Doc 2 – Boîte à outils mathématique #
On parle d’évolution exponentielle lorsque pour une population, le taux de variation est (presque) constant d’un palier à l’autre. En notant $t$ ce taux constant, on peut modéliser l’évolution par une suite géométrique de raison $q=1+t$.
En effet, on a $\dfrac{u(n+1)-u(n)}{u(n)} = t$,
soit $u(n+1)= (1+t) \times u(n), \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}$.
$$u(0)\xrightarrow{\times (1+t)} u(1)\xrightarrow{\times (1+t)} u(2)\xrightarrow{\times (1+t)} u(3) \xrightarrow{\times (1+t)} \cdots$$
Le nombre d’habitants s’exprime en fonction de $n$ par : $$u(n) = \ldots\ldots$$
Doc 3 – Modèle exponentiel et temps de doublement #
On fait l’hypothèse que la population du Niger augmentera chaque année de $3.8$ % à partir de 2020.
Le temps de doublement est le temps nécessaire pour qu’une quantité voie sa valeur initiale doubler.
Représentation obtenue sur tableur
La croissance démographique du Niger est la plus rapide du monde. De $24,2$ millions en $2020$, le Niger pourrait voir, selon la présidence du pays, sa population quasiment doubler d’ici à 2040, passant ainsi à près de 50 millions d’habitants.
d’après Le Monde
Questions #
- Doc. 1 – Calculer les taux de variation et compléter ainsi le premier tableau. Commentez.
- Doc. 1 – Compléter le deuxième tableau à l’aide des données de l’INED.
- Doc. 2 – Comment reconnaître une évolution exponentielle ? Compléter la formule encadrée.
- Doc. 1, 2 et 3 – Proposer une expression de $u(n)$ modélisant la population du Niger. . Doc. 3 – Déterminer le temps de doublement de la population du Niger selon le modèle proposé.