4. Suites géométriques

4. Suites géométriques

Suites géométriques #

1. Termes consécutifs #

$2, 8, 32$ sont-ils trois termes consécutifs d’une suite géométrique ?

Pour répondre on calcule les quotients $\dfrac{8}{2} = 4$ et $\dfrac{32}{8} = 4$. La réponse est oui, ce sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $q = 4$.

3 termes en progression géométrique

Lorsque ces quotients sont différents (comme pour 2, 8 et 16) alors ce ne sont pas trois termes consécutifs d’une suite géométrique.

3 termes qui ne progressent pas géométriquement


2. Définition & formule explicite #

Définition #

Une suite $(v_n)$ vérifiant $v_{n+1} = q v_{n}$ est géométrique de raison $q$.

La raison doit être constante (indépendante de $n$).

Démontrer qu’une suite est géométrique #

On l’a vu, pour démontrer qu’une suite n’est pas géométrique, il suffit de le vérifier sur trois termes.

Mais pour démontrer qu’une suite est géométrique, il faut le faire pour tous les termes.

Considérons $v_n = 7 \times 4^n$. Prouvons qu’elle est géométrique.

On peut vérifier que les trois premiers termes progressent géométriquement : $v_0 = 7, v_1 = 28, v_2 = 112$ qui progressent avec un facteur $q=4$.

Prouvons le :

$v_{n+1} = 7 \times 4^{n+1}$ et

$$\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{7 \times 4^{n+1}}{7 \times 4^n} = \dfrac{4^n \times 4}{4^n} = 4 \Longrightarrow v_{n+1} = 4 v_n$$

$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $4$.

Formule explicite #

Si $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a : $v_n = v_0 q^n$.

Par exemple, si $v_{n+1} = 0.5 v_n$ et $v_0=17$, on a $v_n = 17 \times 0.5^n$.

Réciproque #

Toute suite donc le terme général s’écrit sous la forme $v_n = v_0 q^n$ est géométrique de raison $q$.

Exemple #

On a placé un capital de 1000€ en 2010 sur un compte bloqué rapportant 1.5% d’intérêts composés annuels 1.

  1. Exprimer la relation entre le capital à l’année $n$ et celui à l’année $n+1$.
  2. Calculer le montant en 2022.
  1. D’une année $n$ à la suivante, le capital est augmenté de 1.5%. Il est donc multiplié par 1.015. On a donc $v_{n+1} = 1.015 v_n$. C’est une suite géométrique de raison $1.015$.

    On a aussi $v_n = 1000 \times 1.015^n$

  2. En 2022, 12 ans se sont écoulés depuis le placement. Il y aura donc $1000 \times 1.015^{12} \approx 1195.62$ €.


3. Représentation graphique #

Lorsqu’on représente une suite on place en abscisse (horizontal) les indices et en ordonnée (vertical) les valeurs.

Représenter une suite sur la Numworks #

Par exemple avec $u_3$ et $u_{n+1} = 1.6 \times u_n$.

Menu Suites, ajouter une suite, Récurrente d’ordre 1, $u_{n+1} = 1.6 \times u_{n}$

Progression géométrique vers l’infini

Lorsqu’on trace les termes d’une suite géométrique on remarque une progression exponentielle.

Cas d’une raison entre 0 et 1 #

Lorsque la raison d’une suite géométrique est entre 0 et 1, les termes convergent rapidement vers 0.

Par exemple pour $v_n = 1000 \times 0.6^n$

Progression géométrique vers 0

Cas d’une raison négative #

Lorsque la raison est négative, les valeurs de la suite géométrique changent de signe à chaque terme.

Par exemple pour $v_n = 150 \times (-1.2)^n$

Progression géométrique avec changement de signes

Variations #

Si $(v_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0$

  • si $v_0 > 0$ et $q > 1$ la suite $(v_n)$ est croissante,
  • si $v_0 > 0$ et $0< q < 1$ la suite $(v_n)$ est décroissante,
  • Les autres cas ne sont pas à retenir.

4. Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique #

Propriété #

La somme $S_n$ des termes consécutifs d’une suite géométrique

$$S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n = \sum_{k=0}^n v_k = v_0 \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$$

Exemples #

  1. Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.
  2. Chaque début d’année on place un capital de 500€ sur un compte à intérêts composés avec un taux annuel de 3%. Calculer le capital après 7 ans.

Réponses

  1. Les dix premiers termes donc pour $k$ allant de 0 à 9 (vérifiez en comptant sur vos doigts à partir de 0)

    On applique la formule et $$S = \sum_{k=0}^{9} 5 \times 2^k = 5 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1-2} = 5 \times 1023 = 5115$$

  2. Attention ! Contrairement à l’exemple bancaire précédent, cette fois on place de l’argent tous les ans.

    Le capital total ne suit plus une progression géométrique.

    On considère $v_n$ la valeur acquise pour 500€ placés après $n$ années.

    $v_n$ est une suite géométrique de raison 1.03 (intérêts composés) et de premier terme 500.

    Donc $v_n = 500 \times 1.03 ^ n$

    • Le premier versement reste placé 7 ans, donc rapporte $v_7 = 500 \times 1.03 ^ 7$
    • Le second versement reste placé 6 ans, donc rapporte $v_6 = 500 \times 1.03 ^ 6$
    • $\cdots$
    • Le sixième versement reste placé 2 ans, donc rapporte $v_2 = 500 \times 1.03 ^ 2$
    • Le septième versement reste placé 1 an, donc rapporte $v_1 = 500 \times 1.03 ^ 1$

    Après 7 années, le capital est donc

    $$v_0 + v_1 + \cdots v_6 = \sum_{k=0}^6 v_k = \sum_{k=0}^6 500 \times 1.03^k = 500 \dfrac{1 - 1.03^7}{1-1.03} = 3831.23\text{€}$$

Calculer une somme sur la Numworks #

On reprend le dernier exemple :

Menu Calculs, touche Paste, choisir Analyse puis Somme et saisir :

Somme des termes sur la numworks


Résumé #

Résumé Cours Exemple
Définition $(v_n)$ géométrique $q=1.7$, $v_0=400$
- de raison $q$,
- de premier terme $v_0$
Propriété $v_{n+1} = q \times v_n$ $v_{n+1} = 1.7 \times v_n$
Variations Si $q>1$ et $v_0 >$ $(v_n)$ est croissante $q=1.7>1$ et $v_0 >0$
Si $q \in ]0, 1[$ et $v_0 > 0$, $v$ est décroissante La suite est croissante
Somme $S = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$ $v_0+\cdots+v_9 = 400\dfrac{1-1.7^{10}}{1-0.7}$
Graphe Les points de la représentation graphique ne sont pas alignés
On parle de croissance exponentielle numworks resumé

  1. Les intérêts composés génèrent des intérêts. D’une année à l’autre le capital est augmenté par les intérêts avant de calculer les intérêts de l’année suivante. Ce n’est pas le cas des intérêts simples où les intérêts sont fixes. ↩︎