Travaux dirigés

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0. V/F #

Tous les entiers relatifs admettent une unique représentation en complément à deux.
En complément à deux sur un octet, on peut représenter des nombres de -128 à 127.
L’addition en complément à deux sur un octet de 100 et -110 donne un résultat conforme (-10).

1. Additions d’entiers relatifs #

Donner la représentation binaire de 27 et 33.
Donner la représentation en binaire signé sur un octet de -27 et 33.
Vérifier que l’addition des deux représentation précédentes ne donne pas la représentation de 6.
Recommencer en utilisant le complément à deux sur un octet et vérifier que cette fois le résultat est conforme.

2. Tailles minimales et maximales #

On encode des entiers sur 2 octets.

a. Les entiers sont tous positifs. Quels sont les plus petits et plus grands entiers qu’on puisse encoder ? b. Les entiers sont encodés en complément à 2. Même question.
Dans un programme les entiers sont encodés en complément à deux. La taille utilisée a été perdue.
On sait que 111010101 est un entier négatif.
a. Quelle est la taille employée ?

b. Quels sont les plus petits et plus grands entiers qu’on puisse encoder ?

3. Complément à deux sur un octet. #

On encode les entiers en complément à 2 sur un octet.

Compléter le tableau suivant : Lorsque c’est impossible, écrire une croix

Entier	Complément à 2 sur un octet
1
127
	`1111 1111`
-12
-93
101
-139
	`0101 1100`
	`1101 0011`

Réaliser les additions des éléments du tableau en complément à 2, deux lignes à la fois :

premier + second, second + troisième, troisième + quatrième.
Vérifier les résultats obtenus.

4. Complément à deux, un programme #

Dans cet exercice nous allons écrire une fonction qui réalise le complément à deux en Python.

La foncion int permet d’obtenir la représentation décimale d’un entier depuis n’importe quelle base $b \leq 36$

>>> int('10101', 2) # en binaire
21
>>> int("azerjsdkfjlqdkfj", 36) # les "chiffres" 0-9 et a-z
2428190859766979995068079

La fonction bin donne la représentation binaire d’un entier naturel
```
>>> bin(120)
'0b1111000'
```

Écrire une fonction qui inverse un bit :

>>> inverser('0')
'1'
>>> inverser('1')
'0'

Python permet de transformer une chaîne de caractère en tableau avec la fonction list
```
>>> list("bonjour")
['b', 'o', 'n', 'j', 'o', 'u', 'r']
```
Écrire une fonction Python :
1. qui prend un entier positif (int),
2. le converti en binaire,
3. enlève 0b au début,
4. Le converti en un tableau de chaînes de caractères.
Exemple :
```
>>> vers_tableau(123)
['1', '1', '1', '1', '0', '1', '1']
```

Écrire une fonction python qui ajoute des '0' au début d’un tableau jusqu’à ce qu’il ait la taille souhaitée :

>>> aouter_zeros(['1', '1'], 4)
['0', '0', '1', '1']
>>> aouter_zeros(['1', '1', '1', '1'], 4)
['1', '1', '1', '1']

Écrire une fonction python qui retourne l’indice du dernier '1' dans un tableau qu’on lui passe en paramètre :
```
>>> dernier_1(['0', '1', '0'])
1
```
On supposera que le tableau contient toujours un ‘1’.
La méthode join des chaînes de caractères permet de convertir une liste de chaîne en une chaîne :
```
>>> '|'.join(['1', '3', '5'])
'1|3|5'
>>> ''.join(["b", "o", "n"])
'bon'
```
Utiliser les fonctions précédentes et la méthode join pour écrire le complément à 2 sur une taille donnée.

5. Compléments #

Ces exercices progressifs permettent de vérifier la compréhension des élèves sur la représentation des entiers en complément à deux, en passant de la conversion de nombres décimaux simples en binaire signé, à des opérations plus complexes avec des nombres à virgule fixe.

Voici une série d’exercices progressifs sur la représentation des entiers en complément à deux, faisables sans ordinateur:

Conversion de nombres décimaux en binaire signé:

Convertir les nombres décimaux suivants en binaire signé en utilisant le complément à deux: 5, 10, -3, -7.
Conversion de nombres binaires signés en décimaux:

Convertir les nombres binaires signés suivants en décimaux: 0101, 1100, 1010, 1111.
Addition de nombres binaires signés:

Ajouter les paires de nombres binaires signés suivantes en utilisant la méthode de complément à deux: 0011 + 0100, 1101 + 1001, 0110 + 1001.
Soustraction de nombres binaires signés:

Soustraire les paires de nombres binaires signés suivantes en utilisant la méthode de complément à deux: 0100 - 0011, 1111 - 1100, 1001 - 0110.
Conversion de nombres décimaux à virgule fixe en binaire signé:

Convertir les nombres décimaux suivants en binaire signé à virgule fixe avec une précision de 4 bits: 3,25, -2,75, 7,375, -6,125.
Opérations arithmétiques avec des nombres à virgule fixe en binaire signé:

Ajouter ou soustraire les paires de nombres à virgule fixe suivantes en utilisant la méthode de complément à deux et en respectant la précision de 4 bits: 0011,0101 + 1101,0010, 1010,1100 - 0100,0110.