Une série statistique est composée de plusieurs valeurs similaires. Lorsque ces valeurs sont des paires de nombres on parle de série à deux variables.

On représente alors graphiquement ces valeurs en traçant un nuage de points.

On appelle nuage de points, l’ensemble des points $M_i$ de coordonnées $(x_i;y_i)$.

Soit une série statistique à deux variables $x$ et $y$ de moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

Le point $G$ de coordonnées $(\bar{x};\bar{y})$ avec $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i} \quad\text{ et }\quad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{y_i}$$ est appelé le \emph{point moyen} du nuage.

Dans la série des ménages le points moyen a pour coordonnées :

$$x_G = \dfrac{1980 + 1985 + 1990 + 1995 + 2000 + 2005 + 2010}{7} = 1995$$

$$y_G = \dfrac{18.9 + 19.4 + 18.7 + 17.8 + 17.6 + 17.1 + 16.6}{7} \approx 18$$

Donc le point moyen est $G(1995, 18)$.

Toute droite passant par le point moyen du nuage et “résumant approximativement” le nuage est appelée droite d’ajustement du nuage de points.

On trace “au jugé” une droite passant par le point moyen du nuage qui semble résumer le nuage de points. C’est une méthode simple mais qui dépend de la droite tracée.

En utilisant une droite d’ajustement on peut prédire des valeurs manquantes.

• Lorsque la valeur à prédire est entre les valeurs extrèmes, on parle d’interpolation
• Lorsque la valeur à prédire est en dehors des valeurs extrèmes, on parle d’extrapolation

1. En 2002 on lit approximativement 17.4% (d’alimentaire dans la consommation des ménages)
2. En 1970, on lit environ 20% et en 2020 on lit environ 16.2%.

La méthode des moindres carrés consiste à chercher la meilleure droite d’ajustement possible selon un critère particulier.

L’objectif est de minimiser l’aire des carrés entre un points du nuage et le point de la droite ayant la même abscisse.

Il existe une droite qui minimise ces aires, elle est appelée droite de regression linéaire

Donner la droite de régression c’est écrire son équation sous la forme $y=ax+b$.

Le nombre $r$, appelé coéfficient de corrélation linéaire, est un indicateur de la qualité de cette regression.

Il doit être proche (très proche) de 1 si la droite monte, de -1 si la droite descend.

Pour l’exemple précédent (consommation des ménages), on lit :

• Coéfficient de corrélation linéaire : $r = -0.954$.

Ce n’est pas mauvais… mais on étudiera des régressions avec $r\approx \pm 0.99$

1. Pour estimer la consommation des ménages en 1970, on fait : $y = -0.09 \times 1970 + 197.564 =20.264$.
   On estime qu’en 1970, la part de l’alimentaire dans la consommation était de 20.26%

2. Pour estimer la consommation des ménages en 2020, on fait : $y = -0.09 \times 2020 + 197.564 =15.764$.
   On estime qu’en 2020, la part de l’alimentaire dans la consommation était de 15.76%

3. Cette fois, il faut faire attention ! Ce 15% est une ordonnée. On part donc de $y=15$ et on cherche l’abscisse correspondant sur la droite.

   • Graphiquement

     La figure précédente ne fait pas apparaître ce point, on peut changer les axes :

     

     On lit $x=2028$ et $y=15$.

   • Par le calcul,

     on résout : $$-0.09x + 197.564 = 15 \Longleftrightarrow -0.09x = 15 - 197.564$$ $$\Longleftrightarrow -0.09x=-182.564 \Longleftrightarrow x= \dfrac{-182.564}{-0.09} \approx 2028.48$$

     C’est bien entre 2028 et 2029 que la part de l’alimentaire dans la consommation des ménages devrait passer sous les 15%.

Le nuage n’est pas rectiligne mais courbe et présente une évolution exponentielle.

On est tenté de le rectifier avec la fonction log.

Voici ce qu’on obtient avec la transformation $Z = \log(Y)$

On constate que le nuage est plus rectiligne et que le coefficient de corrélation linéaire est plus proche de 1.

La regression linéaire de ce nuage est donc meilleure que celle du nuage initial.

1. $z = 0.021 \times 90 + 0.0009286 \approx 1.8909286$
2. On remplace et $y = 10^{1.8909286} \approx 77.89$