Fonction logarithme décimal #
1. Définition et propriétés #
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 10^x$.
L’équation $10^x = b$, avec $b > 0$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$
Cette solution se note $\log b$.
Définition #
On appelle logarithme décimal d’un réel strictement positif $b$, l’unique solution de l’équation $10^x=b$.
On la note $\log b$.
La fonction logarithme décimal est définie sur $]0;+\infty[.$
Propriétés #
- Pour tout $b > 0$, $10^x=b \Longleftrightarrow x = \log b$
- $\log 10^x = x$
- $10^{\log x} = x,$ pour tout $x > 0$
2. Représentation graphique #
La fonction logarithme décimal est croissante sur $]0; +\infty[$
Valeurs remarquables #
$\log 1 = 0$, $\log 10 = 1$, $\log \dfrac{1}{10}=-1$
3. Propriétés algébriques #
Le logarithme transforme les produits en somme #
Pour tout $a > 0$ et $b > 0$ on a : $\log(ab)=\log(a) + \log(b)$
Exemple #
Simplifier $A = \log(2 - \sqrt{2}) + \log(2 + \sqrt{2})$
Le logarithme transforme les quotients en soustraction #
Pour tout $a > 0$ et $b > 0$ on a : $\log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$
Exemple #
Simplifier $B = \log(50) - \log(10)$.
Le Logarithme “sort” les puissances #
Pour tout $a > 0$ et $n \in \mathbb{R}$, on a $\log (a^n) = n \log (a)$
Exemple #
Simplifier $C = 2 \log 5 - 4 \log 3 + \log 2$
$$C = 2 \log 5 - 4 \log 3 + \log 2 = \log 5^2 - \log 3^4 + \log 2$$
$$C =\log \left( \dfrac{5^2 \times 2}{3^4} \right) = \log\left( \dfrac{50}{81} \right)$$
4. Équations et inéquations #
Le logarithme permet de résoudre certaines équations et inéquations.
- Résoudre $5^x=33$
- Résoudre dans $]0; +\infty[$ l’inéquation $x^4 < 12$
- 5 évolutions successives de $t$% correspondent à une augmentation de 25%. Déterminer le taux moyen.
Réponses
1. Résoudre $5^x=33$ #
On applique le $\log$ à gauche et à droite :
$$5^x = 33 \Longleftrightarrow \log(5^x) = \log(33) \Longleftrightarrow x\log(5) = \log(33) \Longleftrightarrow x = \dfrac{\log(33)}{\log(5)}$$
2. Résoudre dans $]0; +\infty[$ l’inéquation $x^4 < 12$ #
On applique le $\log$ de chaque côté – C’est une fonction croissante qui conserve l’ordre.
$$x^4 < 12 \Longleftrightarrow \log(x^4) < \log(12)$$
$$\Longleftrightarrow 4 \log x < \log 12 \Longleftrightarrow \log x < \dfrac{\log 12}{4}$$
$$\Longleftrightarrow \log x < \log 12^{\frac{1}{4}}$$
On se débarasse du log en appliquant $x \mapsto 10^x$ qui est aussi une fonction croissante.
$$\Longleftrightarrow \log x < \log 12^{\frac{1}{4}} \Longleftrightarrow 10^{\log x} < 10^{\log 12^{\frac{1}{4}}}$$
$$\Longleftrightarrow x < 12^{\frac{1}{4}}$$
On peut remarquer la simplicité de l’expression finale :
$$x^4 < 12\Longleftrightarrow x < 12^{\frac{1}{4}}$$
L’ensemble des solutions est $\left] 0; 12^{\frac{1}{4}}\right[$
3. Déterminer le taux moyen si 5 évolutions successives de $t$% correspondent à une augmentation de 25%. #
Pour un prix $P$, les cinq évolutions correspondent à $P \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^5 = P \times 1.25$
On peut simplifier $P$ immédiatement et on doit résoudre :
$$\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^5 = 1.25$$
On applique le même procédé qu’au dessus : appliquer le log et le simplifier ensuite :
$$\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^5 = 1.25 \Longleftrightarrow \log \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^5 = \log 1.25$$
$$\Longleftrightarrow 5 \log \left(1 + \dfrac{t}{100}\right) = \log 1.25 \Longleftrightarrow \log \left(1 + \dfrac{t}{100}\right) = \dfrac{1}{5}\log 1.25$$ $$\Longleftrightarrow \log \left(1 + \dfrac{t}{100}\right) = \log 1.25^{\frac{1}{5}} \Longleftrightarrow 1 + \dfrac{t}{100} = 1.25^{\frac{1}{5}} \Longleftrightarrow \dfrac{t}{100} = 1.25^{\frac{1}{5}} - 1$$ $$\Longleftrightarrow t = 100 \times \left(1.25^{\frac{1}{5}} - 1 \right) \approx 4.564$$
Le taux d’évolution annuel moyen est donc d’environ 4.564%.