L’espérance d’une variable aléatoire est la moyenne que l’on peut espérer si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois.

L’espérance d’une variable aléatoire $X$ est :

$$E(x) = x_1 P(X=x_1) + x_2 P(X=x_2) + \cdots + x_n P(X=x_n) = \sum_{i=1}^n x_i P(X = x_i)$$

Réponses

1. Les faces sont équiprobables, on peut leur associer un gain et une probabilité :

   Face	1	2	3	4	5	6
   Gain	-2	-2	-2	-2	3	10
   Proba	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

   On peut maintenant regrouper les valeurs du gain :

   Gain	-2	3	10
   Faces	1, 2, 3, 4	5	6
   Proba	$\dfrac{4}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

   Résumons :

   Lorsqu’on joue à ce jeu, on a 4 chances sur 6 de perdre 2€, 1 chance sur 6 de gagner 3€ et 1 chance sur 6 de gagner 10€.

2. Pour calculer l’espérance du gain $E(G)$ on applique la formule :

   $$E(G) = -2 \times \dfrac{4}{6} + 3 \times \dfrac{1}{6} + 10 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{-8 +3 + 10}{6} = \dfrac{5}{6} \text{€}$$
   
   En moyenne le joueur gagne $\dfrac{5}{6}$€ par partie. L'espérance du gain est _positive_ donc le jeu est profitable au joueur.
   

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire qui présente deux issues possibles. On les appelle “Succès” et “Échec”. On note $p$ la probabilité du succès.

• Lancer une pièce : succès Pile, échec Face, $p=0.5$
• Lancer un dé et regarder si l’on tire 6 ou autre chose : succès 6, échec le reste, $p=\dfrac{1}{6}$
• Lancer un dé et regarder si la face est 1, 2 ou autre chose : succès 1 ou 2, échec le reste, $p=\dfrac{1}{3}$

Par contre :

• Lancer un dé et regarder la face n’ést pas une épreuve de Bernoulli ! Il y a 6 résultats possibles et non 2.

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques (la même expérience aléatoire) et indépendantes (sans influence l’une sur l’autre) de probabilité de succès $p$.

Il faut donc 2 paramètres pour définir un schéma de Bernoulli : le nombre de répétitions $n$ et la probabilité du succès $p$.

On réalise un schéma de Bernoulli composé de $n$ épreuves de Bernoulli de probabilité de succès $p$.

La loi binomiale donne la probabilité d’obtenir $k$ succès, pour $k$ entier entre 0 et $n$.

On lance 20 fois un dé équilibré et on regarde si la face est un 6.

• C’est un schéma de Bernoulli.
• $n=20$ et $p=\dfrac{1}{6}$

La loi binomiale va nous donner la probabilité d’obtenir 0 six, 1 six, 2 six, \ldots, jusque 20 six.

On représente l’arbre de probabilité d’un schéma de Bernoulli avec $n=3$ et $p$ quelconque.

$X$ est la variable aléatoire qui compte les succès. $X$ suit la loi binomiale $B(n, p)$.

On peut calculer la probabilité de chaque feuille, par exemple :

• $P(\text{Succès, Succès, Succès}) = p \times p \times p = p^3$
• $P(\text{Succès, Échec, Succès}) = p \times (1 - p) \times p = p^2(1 - p)$
• $P(\text{Échec, Succès, Succès}) = (1 - p) \times p \times p = p^2(1 - p)$

• Tirer une carte est une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $p=\dfrac{1}{4}$,
• On répète 3 fois de manière identique et indépendante cette expérience : c’est un schéma de Bernoulli avec $n=3$ et $p=\dfrac{1}{4}$,
• On note $X$ la variable aléatoire qui compte les succès. $X$ suit la loi $B\left(3, \dfrac{1}{4}\right)$.
• La probabilité de gagner 2 fois est donnée par $P(X = 2)$

En rouge les feuilles avec 2 succès exactement. À nouveau il y en a 3.

La probabilité de gagner deux fois à ce jeu est donc $P(X = 2) = 3 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{64}$.

• On reconnait une cloche (ça monte et ça descend)
• Les “valeurs centrales” ont une probabilité plus élevées que les valeurs extrêmes. Intuitivement, lorsqu’on fait 100 parties de pile ou face, il est plus probable d’obtenir 50 piles que 0 pile.

L’espérance d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale $B(n, p)$ est donnée par $E(X) = n \times p$

Soit $X$ la variable aléatoire comptant les bonnes réponses. Elle suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0.25$.

Son espérance est $E(X) = 10 \times 0.25 = 2.5$. On peut espérer 2.5 points en moyenne.

On note $\binom{n}{k}$ le nombre de branches menant à $k$ succès dans un arbre probabilisé représentant un schéma de Bernoulli avec $n$ répétitions.

Ce nombre est appelé “Combinaisons de $k$ parmi $n$”.

• $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ : il y a toujours 1 seul chemin qui mène à 0 succès ou à $n$ succès.
• $\binom{n}{1} = \binom{n}{n - 1} = n$ : il y a toujours n chemins qui mènent à $1$ succès ou à $n - 1$ succès.

En ligne, les valeurs de $n$, en colonne celles de $k$.

On remarque que $20 + 15 = 35$ soit $\binom{6}{3} + \binom{6}{4} = \binom{7}{4}$.

Cette propriété est vraie pour tout $n$ et tout $k$, à condition de supposer que les cases vides valent 0.

Soit une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale $B(n, p)$, on a :

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n - k}$$

Notons $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de boules blanches. La probabilité d’un succès est $\dfrac{5}{8}$.

L’expérience étant un schéma de Bernouilli, $X$ suit une loi binomiale $B\left(6, \dfrac{5}{8}\right)$.

La probabilité d’avoir 4 boules blanches est :

$$P(X=4) = \binom{6}{4} \left(\dfrac{5}{8}\right)^4\left(1 - \dfrac{5}{8}\right)^{6-4}$$ $$P(X=4) = \binom{6}{4} \left(\dfrac{5}{8}\right)^4\left(\dfrac{3}{8}\right)^{2}$$

D’après le triangle de Pascal donné plus haut, $\binom{6}{4} = 15$, donc

$$P(X=4) = 15 \left(\dfrac{5}{8}\right)^4\left(\dfrac{3}{8}\right)^{2} = \dfrac{84375}{262144} \approx 0.322$$