On considère la suite géométrique de raison $a$, définie par $u_n=a^n$. Elle est définie pour tout $n \in \mathbb{N}$. On peut prolonger son ensemble de définition à $\mathbb{R}$ tout entier avec $f(x)=a^x$.

On peut ainsi donner une image à des nombres non entiers comme 3.5.

La fonction $f,$ définie sur $\mathbb{R}$ avec $a>0$ par $f(x) = a^x$ est la fonction exponentielle de base $a$.

• La fonction exponentielle de base $a$ est toujours positive.

• Pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$, $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$.

• $a^0 = 1$, $a^1=a$

• $a^{x+y} = a^x \times a^y$

• $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$

• $(a^{x})^y = a^{xy}$

Si $0 < a < 1$, $x \mapsto a^x$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ #

Si $a > 1$, $x \mapsto a^x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ #

1. La fonction exponentielle de base 1.3 est croissante, multiplier par $30~000$ ne change pas les variations donc la population est croissante.

2. En 2021, la population d’Hz. s’élève à $f(1) = 30000 \times 1.3^1 = 39000$

   En 2022, la population s’élève à $f(2) = 30000 \times 1.3^2 = 50700$

3. En zappant quelques valeurs intermédiaires on a :

   $x$	$f(x)$
   4	$85~683$
   5	$111~388$
   …	…
   13	$908~626$
   14	$1181213$

   La population d’Hz. dépassera $100~000$ en 2025 et un million en $2034$.

   

1. Après 30 minutes, soit 0.5 heures, le nombre de bactéries est $f(0.5) = 61000$ environ.

   Après 1h30, soit 1.5 heures, le nombre de bactéries et de $f(1.5) = 92000$ environ.

2. La fonction exponentielle de base $1.5$ est croissante donc $f$ aussi.

3. On a remarqué que $f(1.5)$ est presque le double de 50000.

   Essayons $f(2) = 111000$ environ et $f(1.71) = 100000$ environ.

   Il faut donc 1.7 heures = 1h et $0.7 \times 60$ minutes, soit 1h42 pour doubler la population (environ…)

Notons $t$ ce taux, le coefficient multiplicateur d’une augmentation annuelle est $1 + \dfrac{t}{100}$.

Le coefficient multiplicateur de trois augmentations successives est

$$\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\left(1+\dfrac{t}{100}\right) = \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3$$

Une augmentation de 25% correspond à un coefficient multiplicateur de 1.25 donc on peut poser une équation :

$$\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3 = 1.25 \Longleftrightarrow 1 + \dfrac{t}{100} = 1.25^{\frac{1}{3}}$$ $$\Longleftrightarrow \dfrac{t}{100} = 1.25^{\frac{1}{3}} - 1 \Longleftrightarrow t = 100 \times (1.25^{\frac{1}{3}} - 1)$$ $$\Longleftrightarrow t \approx 7.72%$$

Le prix du gaz a augmenté d’environ $7.72%$ par an entre 2012 et 2015.

Remarque #

On a utilisé la formule suivante :

Pour tout $a>0$ et $x>0$, on a $a^n=x \Longleftrightarrow a = x^{\frac{1}{n}}$

$x^{\frac{1}{n}}$ est la racine énième de $x$.