Pour répondre on calcule les quotients $\dfrac{8}{2} = 4$ et $\dfrac{32}{8} = 4$. La réponse est oui, ce sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $q = 4$.

Lorsque ces quotients sont différents (comme pour 2, 8 et 16) alors ce ne sont pas trois termes consécutifs d’une suite géométrique.

Une suite $(v_n)$ vérifiant $v_{n+1} = q v_{n}$ est géométrique de raison $q$.

La raison doit être constante (indépendante de $n$).

On peut vérifier que les trois premiers termes progressent géométriquement : $v_0 = 7, v_1 = 28, v_2 = 112$ qui progressent avec un facteur $q=4$.

Prouvons le :

$v_{n+1} = 7 \times 4^{n+1}$ et

$$\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{7 \times 4^{n+1}}{7 \times 4^n} = \dfrac{4^n \times 4}{4^n} = 4 \Longrightarrow v_{n+1} = 4 v_n$$

$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $4$.

Si $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a : $v_n = v_0 q^n$.

Par exemple, si $v_{n+1} = 0.5 v_n$ et $v_0=17$, on a $v_n = 17 \times 0.5^n$.

Toute suite dont le terme général s’écrit sous la forme $v_n = v_0 q^n$ est géométrique de raison $q$.

1. D’une année $n$ à la suivante, le capital est augmenté de 1.5%. Il est donc multiplié par 1.015. On a donc $v_{n+1} = 1.015 v_n$. C’est une suite géométrique de raison $1.015$.

   On a aussi $v_n = 1000 \times 1.015^n$

2. En 2022, 12 ans se sont écoulés depuis le placement. Il y aura donc $1000 \times 1.015^{12} \approx 1195.62$ €.

Lorsque la raison d’une suite géométrique est entre 0 et 1, les termes convergent rapidement vers 0.

Par exemple pour $v_n = 1000 \times 0.6^n$

Lorsque la raison est négative, les valeurs de la suite géométrique changent de signe à chaque terme.

Par exemple pour $v_n = 150 \times (-1.2)^n$

Si $(v_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0$

• si $v_0 > 0$ et $q > 1$ la suite $(v_n)$ est croissante,
• si $v_0 > 0$ et $0< q < 1$ la suite $(v_n)$ est décroissante,
• Les autres cas ne sont pas à retenir.

La somme $S_n$ des termes consécutifs d’une suite géométrique

$$S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n = \sum_{k=0}^n v_k = v_0 \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$$

Réponses

1. Les dix premiers termes donc pour $k$ allant de 0 à 9 (vérifiez en comptant sur vos doigts à partir de 0)

   On applique la formule et $$S = \sum_{k=0}^{9} 5 \times 2^k = 5 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1-2} = 5 \times 1023 = 5115$$

2. Attention ! Contrairement à l’exemple bancaire précédent, cette fois on place de l’argent tous les ans.

   Le capital total ne suit plus une progression géométrique.

   On considère $v_n$ la valeur acquise pour 500€ placés après $n$ années.

   $v_n$ est une suite géométrique de raison 1.03 (intérêts composés) et de premier terme 500.

   Donc $v_n = 500 \times 1.03 ^ n$

   • Le premier versement reste placé 7 ans, donc rapporte $v_7 = 500 \times 1.03 ^ 7$
   • Le second versement reste placé 6 ans, donc rapporte $v_6 = 500 \times 1.03 ^ 6$
   • $\cdots$
   • Le sixième versement reste placé 2 ans, donc rapporte $v_2 = 500 \times 1.03 ^ 2$
   • Le septième versement reste placé 1 an, donc rapporte $v_1 = 500 \times 1.03 ^ 1$

   Après 7 années, le capital est donc

   $$v_0 + v_1 + \cdots v_6 = \sum_{k=0}^6 v_k = \sum_{k=0}^6 500 \times 1.03^k = 500 \dfrac{1 - 1.03^7}{1-1.03} = 3831.23\text{€}$$