La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R} \setminus {0}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

La fonction dérivée de la fonction inverse : $\left( \dfrac{1}{x} \right)’ = -\dfrac{1}{x^2}$

Démonstration #

Avec $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Calculons le taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$ :

$$\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = \dfrac{\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}}{h} = \dfrac{\frac{a}{a(a+h)} - \frac{a+h}{a(a+h)}}{h} = \frac{\frac{-h}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{ah(a+h)}=\frac{-1}{a(a+h)}$$

Lorsqu’on fait tendre $h$ vers 0, l’expression précédente tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty; 0[$ et est décroissante sur $]0; +\infty[$.

Lorsque $x$ devient grand, $\dfrac{1}{x}$ devient proche de 0.

Pensez le ainsi : vous avez 1 gateau à diviser en $x$ invités.

Avec 3 invités, ça va, chacun mange un tiers, avec 1000 invités, chacun mange $\dfrac{1}{1000} = 0.001$ gateau…

Graphiquement : plus $x$ devient grand, plus la courbe s’approche de l’axe des abscisses.

Lorsque $x$ devient grand “chez les négatifs”, $\frac{1}{x}$ devient proche de 0 (mais toujours négatif).

Graphiquement : plus $x$ devient négatif, plus la courbe s’approche de l’axe des abscisses.

Formules de dérivation #

Formule	Dérivée
Somme	$(f+g)’=f’+g'$
Produit par une constante $k$	$(k f)’=k f'$

Fonction $f$	Dérivée $f'$
$a$, constant	0
$x$	1
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$

1. On applique la formule et :

   $$f’(x) = 0 - 4 - \dfrac{-1}{x^2}$$

2. On factorise la dérivée après l’avoir réduite au même dénominateur :

   $$f’(x) = -4 + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{-4x^2+1}{x^2} = \dfrac{1-4x^2}{x^2} = \dfrac{(1-2x)(1+2x)}{x^2}$$

   On résout $f(x)=0$, on a $(1-2x)(1+2x)=0$ et $x^2 \neq 0$ donc $x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$.

   Au numérateur, la fonction du second degré est de coefficient $a=-4$.

   Elle est du signe de $-4$ à l’extérieur des racine $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$.

   Au dénominateur, tout est positif.

   Donc :

   • sur $]-\infty; -\frac{1}{2}[$, $f’(x) < 0$

   • sur $]-\frac{1}{2}; 0[$, $f’(x) > 0$

   • sur $]0; \frac{1}{2}[$, $f’(x) > 0$

   • sur $]\frac{1}{2}; +\infty[$, $f’(x) < 0$

3. Variations de $f$

   • sur $]-\infty; -\frac{1}{2}[$, $f$ est décroissante,

   • sur $]-\frac{1}{2}; 0[$, $f$ est croissante,

   • sur $]0; \frac{1}{2}[$, $f$ est croissante,

   • sur $]\frac{1}{2}; +\infty[$, $f$ est décroissante.

4. Figure

   ![Représentation graphique](./img/courbe.svg)