2. Fonction Inverse

2. Fonction Inverse

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Fonction inverse #

Définition et représentation graphique #

Définition #

La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R} \setminus {0}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Valeurs #

$x$ -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2
$\dfrac{1}{x}$ -0.5 -1 -2 x 2 1 0.5

Représentation graphique #

L’hyperbole de la fonction inverse

Le graphe de la fonction inverse est une hyperbole de centre $O$, symétrique par rapport à l’origine.

Dérivée et variations #

Dérivée #

La fonction dérivée de la fonction inverse : $\left( \dfrac{1}{x} \right)’ = -\dfrac{1}{x^2}$

Démonstration #

Avec $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Calculons le taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$ :

$$\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = \dfrac{\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}}{h} = \dfrac{\frac{a}{a(a+h)} - \frac{a+h}{a(a+h)}}{h} = \frac{\frac{-h}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{ah(a+h)}=\frac{-1}{a(a+h)}$$

Lorsqu’on fait tendre $h$ vers 0, l’expression précédente tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$

Variations #

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty; 0[$ et est décroissante sur $]0; +\infty[$.

Limites : comportement à l’infini #

En $+\infty$ #

Lorsque $x$ devient grand, $\dfrac{1}{x}$ devient proche de 0.

Pensez le ainsi : vous avez 1 gateau à diviser en $x$ invités.

Avec 3 invités, ça va, chacun mange un tiers, avec 1000 invités, chacun mange $\dfrac{1}{1000} = 0.001$ gateau…

$x$ 1 10 100 1000 10000
$\dfrac{1}{x}$ 1 0.1 0.01 0.001 0.0001

Graphiquement : plus $x$ devient grand, plus la courbe s’approche de l’axe des abscisses.

Asymptote en plus l’infini

En $-\infty$ #

Lorsque $x$ devient grand “chez les négatifs”, $\frac{1}{x}$ devient proche de 0 (mais toujours négatif).

Graphiquement : plus $x$ devient négatif, plus la courbe s’approche de l’axe des abscisses.

Asymptote en moins l’infini

L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe de la fonction inverse en $+\infty$ et $-\infty$. #

Étude d’une fonction #

Soit $f(x) = 3 - 4x - \dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus {0}$.

  1. Calculer la dérivée de $f$
  2. Factoriser la dérivée et étudier son signe
  3. Construire le tableau de variations
  4. Représenter $f$ dans un repère.

Formules de dérivation #

Formule Dérivée
Somme $(f+g)’=f’+g'$
Produit par une constante $k$ $(k f)’=k f'$
Fonction $f$ Dérivée $f'$
$a$, constant 0
$x$ 1
$x^2$ $2x$
$x^3$ $3x^2$
  1. On applique la formule et :

    $$f’(x) = 0 - 4 - \dfrac{-1}{x^2}$$

  2. On factorise la dérivée après l’avoir réduite au même dénominateur :

    $$f’(x) = -4 + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{-4x^2+1}{x^2} = \dfrac{1-4x^2}{x^2} = \dfrac{(1-2x)(1+2x)}{x^2}$$

    On résout $f(x)=0$, on a $(1-2x)(1+2x)=0$ et $x^2 \neq 0$ donc $x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$.

    Au numérateur, la fonction du second degré est de coefficient $a=-4$.

    Elle est du signe de $-4$ à l’extérieur des racine $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$.

    Au dénominateur, tout est positif.

    Donc :

    • sur $]-\infty; -\frac{1}{2}[$, $f’(x) < 0$

    • sur $]-\frac{1}{2}; 0[$, $f’(x) > 0$

    • sur $]0; \frac{1}{2}[$, $f’(x) > 0$

    • sur $]\frac{1}{2}; +\infty[$, $f’(x) < 0$

  3. Variations de $f$

    • sur $]-\infty; -\frac{1}{2}[$, $f$ est décroissante,

    • sur $]-\frac{1}{2}; 0[$, $f$ est croissante,

    • sur $]0; \frac{1}{2}[$, $f$ est croissante,

    • sur $]\frac{1}{2}; +\infty[$, $f$ est décroissante.

  4. Figure

    ![Représentation graphique](./img/courbe.svg)