1. Rappels : définitions et propriétés #
1. Définition #
Une fonction affine est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont l’expression peut s’écrire $f(x)=ax+b$.
Les réels $a$ et $b$ sont constants.
$a$ est le coeficient directeur, $b$ est l’odonnée à l’origine.
2. Exemples #
On donne $f(x) = 2x - 4$, $g(x) = (1 -x)^2$ et $h(x) = x^2 - (x+1)^2$.
- $f$ est affine avec $a = 2$ et $b = -4$.
- $g$ n’est pas affine. On peut développer $g(x) = 1 -2x + x^2$ et on ne peut se débarasser du terme en $x^2$
- $h$ est affine, en effet $h(x)=x^2 - (x^2 + 2x+1)=-2x-1$. Ainsi $a=-2$ et $b=-1$.
3. Théorème #
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Pour la représenter on peut choisir deux valeurs de $x$ :
| $x$ | 0 | 1 |
|---|---|---|
| $2x-4$ | -4 | -2 |
2. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine #
1. Lecture graphique #
- L’ordonnée à laquelle la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x)=ax+b$ coupe l’axe des ordonnées est $b$.
- Le coefficient directeur se lit en choisissant deux points de la droite, séparés d’un en absissce. L’écart sur les ordonnées entre le point de gauche et le point de droite est $a$.
2. Par le calcul #
Pour deux points distincts $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ de la droite $d$, on a
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \text{ et } b = y_A - ax_A$$
3. Sens de variation des fonctions affines #
Soit $f$ la fonction affine $f: x \mapsto ax+b$ alors :
- si $a>0$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$,
- si $a<0$, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$,
- si $a=0$, $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.
Remarque : si $b=0$, la fonction est dite linéaire et sa courbe passe par l’origine.
4. Signe d’une fonction affine #
$f(x) = \dfrac{1}{3}x-1$ est affine avec $a = \dfrac{1}{3} > 0$ donc est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
De plus, $f(3) = 0$ donc :
- pour tout $x < 3$, $f(x) < 0$
- pour tout $x > 3$, $f(x) > 0$
Théorème #
Le signe d’une fonction affine $f(x) = ax+b$ avec $a\neq b$ est déterminé par deux éléments :
- Le signe de $a$
- la valeur de $-\frac{b}{a}$
Il se résume ainsi :
