Exercices

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Ces exercices sont ceux donnés dans les autres sections.

Chapitre 1: Outils et techniques calculatoires #

Exercice 1.1 #

Effectuer les opérations suivantes et simplifier au maximum

Exercice 1.2 #

1. Sur un pantalon étiqueté à 70€ on bénéficie d’une remise de 30%. À quel prix aura-t-on le pantalon ?
2. Le plein de SP95 d’une voiture coûtait 70€. Après l’augmentation de 20% des prix à la pompe, quel sera le prix d’un plein ?
3. Après réduction de 10% par le concessionnaire, la voiture coûte 18 900€. Quel était le prix d’origine ?
4. Un particulier avait 100L d’eau dans une citerne. Après les pluies, la quantité d’eau dans la citerne a augmenté de 5% mais une sécheresse a suivi et la quantité d’eau a baissé de 15%. Quelle quantité d’eau reste-t-il dans la citerne ?
5. Le prix d’une action augmente de 5% puis baisse de 5%. Globalement, le prix aura-t-il baissé ou augmenté ?

Exercice 1.3 #

Simplifier les expressions au maximum

1. $2^3 \times 3^{-2} \times 2^{-5}$
2. $\frac{5^3}{5^2} \times 5^4$
3. $\frac{3^4 \times 3^{-2}}{3^6}$
4. $(2^3)^{-2} \times 2^7 \times 2^{-1}$
5. $(5^3)^2 \times \left(\frac{1}{5}\right)^{-6}$
6. $\dfrac{(4^{-3})^2 \times 3^5}{3^2 \times (2^{-4})^3}$

Exercice 1.4 #

Écrire les nombres suivants sous forme scientifique

1. 10 000
2. 0,001
3. 45,200
4. 1287, 34
5. 0,0005
6. 540 000
7. 123
8. $\dfrac{30}{100}$
9. $\frac{45}{1000}$
10. $\frac{126}{3}$

Exercice 1.5 #

Résoudre les équations suivantes

1. $x + 4 = 2x - 5$
2. $-3x = x - \frac{1}{3}$
3. $3 - 4x = 4x - 5$
4. $5(x-1) + 2 = x - 4$
5. $\frac{1}{2}(x - 1) = x - \frac{1}{2}$
6. $\frac{2}{5}(x - 1) + x = 1$
7. $\frac{2x - 3}{x} = 1$
8. $\frac{x - 1}{2x} + \frac{x + 1}{x} = 0 \quad \text{pour} \quad x \neq 0$
9. $\frac{x}{x+1} - \frac{x+1}{x-1} = 0 \quad \text{pour} \quad x \neq 1 \quad \text{et} \quad x \neq -1$
10. $(2x - 1)(x + 5) = 0$

Exercice 1.6 #

Résoudre

1. $x \times 1.04^{-2} = 3000 \times 1.04^{-4} + 7000 \times 1.04^{-5}$
2. $x \times 0.05 \times \frac{90}{360} = 150$
3. $2000 \times 0.06 \times \frac{x}{360} = 200$
4. $10000 \times 1.08^{-4} = x \times 1.08^{-2} + 2x \times 1.08^{-5}$
5. $x \times 0.06 \times \frac{60}{360} + x = 5050$

Exercice 1.7 #

Résoudre les inéquations suivantes (et donner les résultats sous forme d’intervalles)

1. $4x - 2 < x + 1$
2. $5 - x > -3x + 2$
3. $\frac{3}{4}(x - \frac{2}{3}) < x + 1$
4. $2(x-1) - 3x \geq -3$
5. $\frac{2}{3}x + 1 \leq x$
6. $-\frac{1}{5}x \leq \frac{2}{5} + 2x$
7. $(x+2)(x-1) \geq 0$
8. $(1-x)(x+5) < 0$
9. $(x-3)(x+1) \leq 0$
10. $\frac{x}{x+1} - \frac{x+1}{x-1} \geq 0 \quad \text{pour} \quad x \neq 1 \quad \text{et} \quad x \neq -1$

Exercice 1.8 #

Factoriser les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables

1. $A_1(x) = x^2 + 6x + 9$
2. $A_2(x) = x^2 - 12x + 36$
3. $A_3(x) = 4x^2 - 9$
4. $A_4(x) = 25 - 10x + x^2$
5. $A_5(x) = x^2 - 4x + 3 \quad \text{(on remarquera que 3 = 4-1)}$
6. $A_6(x) = 5x^2 - 20$

Exercice 1.9 #

Pour chaque expression $A_i(x)$, développer, factoriser puis résoudre $A_i(x) = 0$.

1. $A_1(x) = (x-5)(2x+1) + (x+5)(2-x)$
2. $A_2(x) = (x+1)^2 - (x+1)(x+4)$
3. $A_3(x) = (2x-1)^2+(5x+1)(2x-1)+ (4x^2-1) \quad \text{on factorisera 4x}^2-1$
   • En choisissant la « bonne » expression, résoudre $A_3(x) = -1$, calculer $A_3(0.5)$.
4. $A_4(x) = (3x+1)^2 - 2(9x^2-1) - (3x+1)(5x+3) \quad \text{on factorisera 9x}^2-1$
5. $A_5(x) = 2(x-2)(x+1) + (x^2-4) - 3(1-x)(4-2x) \quad \text{on factorisera x}^2 - 4 \text{ et } 4 - 2x$
6. $A_6(x) = 2(x+1) - (x+1)(4x+3) + x^2 - 4x + 2x - 4$
7. $A_7(x) = (2x+1)^2 - (x-3)^2$
8. $A_8(x) = (3x-1)^2 - 9x^2+1 - (x-5)(3x-1)$
   • En choisissant la bonne expression, résoudre $A_8(x) > 0$

Exercice 1.10 #

Résoudre algébriquement les systèmes

$$ \left\{ \begin{aligned} 2x - y &= 1 \\ -4x + 3y &= 7 \end{aligned} \right. $$

$$ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ -4x - 2y = -3 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ x + 5y = -3 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} -0.5x + y = 1 \\ 2x - 4y = -4 \end{cases} $$

(Pour ceux qui sont à l’aise, résoudre géométriquement également).

Exercice 1.11 #

Dans un magasin, tous les articles d’une même catégorie sont au même prix. Pierre et Clothilde décident d’acheter des DVD et des BD. Ils possèdent chacun 75€. Pierre achète un DVD et 4 BD ; il lui reste 14,50€. Clothilde dépense 73,50€ pour 2 DVD et 3 BD. Calculer le prix de chaque article.

Exercice 1.12 #

Une entreprise artisanale fabrique deux types d’objets en bois, notés A et B. Un objet de type A nécessite 3 kg de bois et un objet de type B nécessite 5 kg de bois. Pendant une journée, l’entreprise a utilisé 163 kg de bois pour fabriquer 43 objets. Déterminer le nombre d’objets réalisés pour chaque type.

Exercice 1.13 #

Interpréter graphiquement (en termes de parabole – forme, sommet - et d’intersection avec les axes). Mettre chacune des expressions du second degré sous forme canonique.

1. $x^2 - 4x + 3 = 0$ puis $x^2 - 4x + 3 \ge 0$
2. $x^2 - x + 1 = 0$ puis $x^2 - x + 1 < 0$
3. $-x^2 - x + 2 = 0$ puis $-x^2 - x + 2 \le 0$
4. $-2x^2 - 11x + 21 = 0$ puis $-2x^2 - 11x + 21 \le 0$
5. $x^2 - 10x + 25 = 0$ puis $x^2 - 10x + 25 \ge 0$
6. $-x^2 - 2x - 2 = 0$ puis $-x^2 - 2x - 2 < 0$
7. $4x^2 - 4x + 1 = 0$ puis $4x^2 - 4x + 1 > 0$

Exercice 1.14 #

1. Factoriser les polynômes $x^2 - x - 6$ et $2x^2 + 3x - 2$
2. Résoudre l’équation

$$ \dfrac{2}{x^2 - x - 6} + \frac{x}{2x^2 + 3x - 2} = 0 $$

Exercice 1.15 #

1. a) Résoudre l’équation $2x^2 + 5x + 2 = 0$ b) En utilisant un changement d’inconnue, en déduire les solutions de l’équation

$$ 2x^4 + 5x^2 + 2 = 0 $$

c) En utilisant un changement d’inconnue, en déduire les solutions de l’équation

$$ \frac{2}{(x - 1)^2} + \frac{5}{x - 1} + 2 = 0 $$

2. Par une méthode analogue, résoudre l’équation $x + 5\sqrt{x} - 3 = 0$
3. Par une méthode analogue résoudre $x^4 - 4x^2 + 3 = 0$

Exercice 1.16 #

Les questions sont indépendantes

1. On considère le trinôme suivant : $(m+3)x^2 + 2(3m+1)x + (m+3)$

   Pour quelles valeurs de $m$ ce trinôme a-t-il une racine double ? Calculer alors cette racine.

2. On considère le trinôme suivant : $x^2 - (2m+3)x + m^2$

   Pour quelles valeurs de $m$ ce trinôme a-t-il une racine double ? Calculer alors cette racine.

3. On considère l’équation $2x^2 - (m+2)x + m - 2 = 0$

   Calculer $m$ pour que l’une des solutions soit égale à 3. En déduire l’autre solution de l’équation.

Exercice 1.17 #

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^3 - 4x^2 - 25x + 42$.

1. Montrer que -3 est une solution de $f(x) = 0$.
2. Développer, ordonner et réduire $(x + 3)(ax^2 + bx + c)$.
3. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x) = (x + 3)(ax^2 + bx + c)$ pour tout réel $x$.
4. Résoudre $f(x) = 0$.

Exercice 1.18 #

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3 + 5x^2 - 12x + 6$.

1. Montrer que 1 est solution de $g(x) = 0$.
2. Déterminer trois $a$, $b$ et $c$ tels que $g(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)$ pour tout réel $x$.
3. En déduire le signe de $g(x)$.

Exercice 1.19 #

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x^2 - ax + 3$ où $a$ est un nombre réel.

1. Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles l’équation $h(x) = 0$ admet deux racines distinctes.
2. Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles l’équation $h(x) = 0$ admet une racine double.
3. Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles l’équation $h(x) = 0$ n’admet pas de racine.
4. Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles le minimum de $h$ est strictement inférieur à -1.

Exercices du chapitre 2 (Droites) #

Exercice 2.1 #

Tracer les droites suivantes de la manière la plus rapide possible (et indiquer les droites parallèles, perpendiculaires en justifiant) :

• $d_1 : 2x + y = 3$
• $d_2 : x = -1$
• $d_3 : y = \frac{1}{2}$
• $d_4 : y = -\frac{1}{2}x + 3$
• $d_5 : 2y - x - 2 = 0$
• $d_6 : y - \frac{1}{3}x = \frac{5}{3}$
• $d_7 : y - 2x + 5 = 0$
• $d_8 : 2y = 3x$
• $d_9 : -x - y = 0$
• $d_{10} : y - \frac{1}{2}x - 3 = 0$

Exercice 2.2 #

Déterminer dans chacun des cas si les droites $d$ et $d’$ sont parallèles ou sécantes.

1. $d$ a pour équation $2x+3y-5=0$ et $d’$ a pour équation $4x+6y+3=0$.
2. $d$ a pour équation $-5x+4y+1=0$ et $d’$ a pour équation $6x-y-2=0$.
3. $d$ a pour équation $7x-8y-3=0$ et $d’$ a pour équation $6x-9y=0$.
4. $d$ a pour équation $9x-3y+4=0$ et $d’$ a pour équation $-3x+y+4=0$.

Exercice 2.3 #

On donne les points suivants : $A(2;-1), B(4;2), C(-1;0), D(1;3)$

1. Déterminer une équation cartésienne de $(AB)$ et $(CD)$.
2. Étudier la position relative de ces deux droites.

Exercice 2.4 #

Résoudre géométriquement les systèmes :

1. $$ \begin{cases} 2x - y = 1 \\ -4x + 3y = 7 \end{cases} $$

2. $$ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ -4x - 2y = -3 \end{cases} $$

3. $$ \begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ x + 5y = -3 \end{cases} $$

4. $$ \begin{cases} -0.5x + y = 1 \\ 2x - 4y = -4 \end{cases} $$

Exercice 2.5 #

1. Par lecture graphique, déterminer l’équation réduite des quatre droites représentées sur ce graphique

   $~$

2. Déterminer par le calcul les coordonnées des points $A, B$ et $C$.

3. Vérifier graphiquement les réponses précédentes.

Exercice 2.6 #

On considère les points $A(0, 1)$, $B(3, 3)$ et $C(4, -3)$ :

1. Placer ces points dans un repère orthonormal.
2. Déterminer une équation de la droite $(AB)$ et de la droite $(AC)$.
3. Déterminer, par le calcul, une équation de la droite $(BC)$.
4. Déterminer une équation de la parallèle à $(AB)$ passant par $C$.

Exercice 2.7 #

On considère les points $A(-3;4), B(6;1), C(-2,1)$, $D(0;3)$

1. Placer ces points dans un repère orthonormé.

2. Le point $D$ est-il un point de $(AB)$ ? Justifier à l’aide d’un calcul.

3. La parallèle à $(AC)$ passant par $D$ coupe $(BC)$ en $E$.

   a. Déterminer une équaion de la droite $(DE)$. b. Déterminer l’équation réduite de la droite $(CB)$. c. En déduire les coordonnées du point $E$.

Exercice 2.8 #

On suppose que la courbe de demande est décrite par une droite de la forme $q = mp + b$.

Déterminer son équation étant données les informations suivantes : un promoteur découvre que la demande en billets de théâtre est de 1200 lorsque le prix est de 60€ mais chute à 900 lorsque le prix est haussé à 75€.

Exercice 2.9 #

La quantité et le prix d’équilibre d’un bien sont déterminés par l’intersection des courbes de l’offre et de la demande. Pour un produit donné, l’offre est déterminée par la droite :

$$ q_{\text{offre}} = 30p - 45 $$

Et la demande, pour ce même produit, par la droite :

$$ q_{\text{demande}} = -15p + 855 $$

Déterminer le prix et la quantité d’équilibre et tracer, sur un même graphique, les courbes de l’offre et de la demande.

Exercice 2.10 #

Une compagnie produit des chaussures. Lorsque 30 chaussures sont produites, le coût total de production est de 325€. Lorsque 50 chaussures sont produites, le coût s’élève alors à 485€. Quelle est l’équation du coût $C$ si celui-ci varie de façon linéaire en fonction du nombre de chaussures produites $q$ ?

Exercice 2.11 #

Dans chacun des cas, représenter le demi-plan :

1. $x \geq -1$
2. $y < 3$
3. $2x + y \geq 0$
4. $y - 3x + 2 \leq 0$
5. $2y + x - 3 > 0$

Exercices du Chapitre 3 (Suites) #

Exercice 3.1 #

Parmi les suites suivantes, indiquer celles qui sont arithmétiques, géométriques.

Exercice 3.2 #

1. $\quad 6, 10, 14$ peuvent-ils être les 3 premiers termes d’une suite arithmétique ? Justifier.
2. $\quad 5, 25, 120$ peuvent-ils être les 3 premiers termes d’une suite géométrique ? Justifier.

Exercice 3.3 #

On suppose que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique.

1. On sait que $u_0 = 2$ et $r = -3$. Calculer $u_{10}$, $u_{20}$.
2. On sait que $u_0 = 2$ et $u_2 = 10$. Calculer $r$, $u_1$, $u_5$.
3. On sait que $u_{20} = -52$ et $u_{51} = -145$. Expliciter $u_n$.
4. On sait que $u_{22} = 15$ et $r=\dfrac{3}{4}$. Expliciter $u_n$.

Exercice 3.4 #

On suppose que $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $q = 0.5$.

1. On sait que $v_0 = 32$. et $r=\dfrac{1}{4}$. Calculer $v_{2}$, $v_8$.
2. On sait que $v_0 = 3$ et $v_2=12$. Calculer $r, v_1$, $v_5$.
3. On sait que $v_1=-1$ et $v_{10}=1$. Expliciter $v_n$ en fonction de $n$.

Exercice 3.5 #

Déterminer la nature des suites suivantes (préciser leurs paramètres) :

$$ u_n = (-4)^{2n+1} $$

$$ v_n = 2^n \times \frac{1}{3^{n+1}} $$

$$ w_n = (-1)^n \times 2^{3n+1} $$

$$ z_n = 7 - 3n $$

Exercice 3.6 #

Albert place un capital initial $C_0 = 3000€$ à un taux annuel de 6%, les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6% du capital initial (les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, contrairement aux intérêts composés). On note $C_n$ le capital d’Albert au bout de $n$ années, capital exprimé en euros.

1. Montrer que pour tout entier $n$, $C_{n+1} = C_n + 180$. Qu’en déduit-on ?
2. Pour tout entier $n$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
3. De quel capital Albert dispose-t-il au bout de 10 ans ?
4. Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé ?
5. Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il 10 000€ ?

Exercice 3.7 #

On suppose que chaque année la production d’une usine subit une baisse de 4%. Au cours de l’année 2000, la production a été de 25 000 unités. On note $P_0= 25 000$ et $P_n$ la production prévue au cours de l’année $2000+n$.

1. Déterminer la nature de la suite. Préciser ses paramètres.
2. Si la production descend en dessous de 15 000 unités, l’usine sera en faillite. Quand cela se produira-t-il si la baisse persiste ?

Exercice 3.8 #

1. On considère une suite arithmétique de premier terme $U_0 = 2$ et de raison $r = 3$.

   Calculer $S=\sum\limits_{k=0}^{7} U_k$.

2. On considère une suite géométrique de premier terme $V_0 = 2$ et de raison $q = \frac{1}{2}$.

   Calculer $S = \sum\limits_{k=0}^{7} U_k$.

3. On considère une suite arithmétique de premier terme $U_0 = 1$ et de raison $r = -2$.

   Calculer $S = \sum\limits_{k=0}^{15} U_k$.

4. On considère une suite géométrique de premier terme $U_0 = \frac{1}{2}$ et de raison $r = 2$.

   Calculer $S = \sum\limits_{k=0}^{12} U_k$.

5. On considère une suite arithmétique de premier terme $U_0 = 2$ et de raison $r = 3$.

   Déterminer $n$ tel que $S = \sum\limits_{k=0}^{n} U_k = 15~050$.

Exercice 3.9 #

Les questions sont indépendantes.

1. En reconnaissant la somme des termes d’une suite arithmétique, calculer $$S = \frac{1}{3} + 1 + \frac{4}{3} + \cdots + \frac{19}{3} + 7$$
2. Calculer la somme des 20 premiers entiers pairs (modéliser le problème à l’aide d’une suite).
3. Démontrer que la somme $S = 1 + 3 + 5 + \cdots + 99$ est le carré d’un entier naturel.
4. Une suite arithmétique $(U_n), n \in \mathbb{N}$ de raison 5 est telle que $U_0 = 2$ et, $n$ étant un nombre entier, $\sum\limits_{i=3}^{i=n} U_i = 6456$. Calculer $n$.
5. En reconnaissant la somme des termes d’une suite géométrique, calculer :
   • $S_1 = 2^7 + 2^8 + \cdots + 2^{21}$
   • $S_2 = 18 + 54 + 162 + \cdots + 39~366$
   • $S_3 = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \cdots - \frac{1}{1048576}$

Exercice 3.10 #

Au 1er janvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :

• 25% des adhérents de l’association ne renouvellent pas leur adhésion.
• 12 nouvelles personnes décident d’adhérer à l’association.

On modélise le nombre d’adhérents de l’association par la suite $(U_n), n \in \mathbb{N}$ telle que $U_0 = 900$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} = 0,75U_n + 12$. Le terme $U_n$ donne ainsi une estimation du nombre d’adhérents de l’association au bout de $n$ mois.

1. Déterminer l’expression de $U_n$ en fonction de $n$ (utiliser la méthode vue en cours).
2. La présidente de l’association assure qu’elle démissionnera si le nombre d’adhérents descend en dessous de 100. Si l’évolution continue, la présidente démissionnera-t-elle ? Si oui, au bout de combien de mois ?

Exercice 3.11 #

Une entreprise de téléphonie mobile constate un taux de churn, c’est-à-dire de déperdition de sa clientèle de 16%. Dans le même temps, elle arrive à capter 100 000 nouveaux abonnés par an. On suppose qu’en 2020 le nombre de clients est de 400 000. On note $U_0 = 400 000$.

1. Exprimer le nombre d’abonnés $U_n$ pour l’année 2020+n, en fonction de $n$.
2. Au fil du temps, vers quel nombre d’abonnés l’entreprise se stabilisera-t-elle ?

Exercices du Chapitre 4 #

Exercice 4.1 #

Montrer par contraposée que

1. si $n^2$ est impair alors $n$ est impair.
2. soit $a$ réel. Si $a^2$ n’est pas un multiple entier de 16, alors $\frac{a}{2}$ n’est pas un entier pair.

Exercice 4.2 #

Montrer par l’absurde que

1. pour tout $x$ différent de -3, $\frac{x+1}{x+3} \neq 1$.
2. $\sqrt{n^2 + 1}$ n’est pas un entier ($n$ entier naturel non nul).
3. Si $n$ est le carré d’un nombre entier non nul alors $2n$ n’est pas le carré d’un nombre entier.

Exercice 4.3 #

Montrer les propositions suivantes, à l’aide d’un raisonnement par récurrence :

1. Pour tout $n$ entier non nul, $1+ 2^{2n-1} \times 3^{n+2}$ est divisible par 11.
2. $(n+1)! \geq 1! + 2! + \dots + n!$
3. $\sum_{k=1}^{n} k \times k! = (n + 1)! - 1$
4. Soit $x$ un réel supérieur ou égal à -1, $\forall n \in \mathbb{N}, (1 + x)^n \geq 1 + nx$
5. $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$
6. $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$
7. $\sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^{n+1} - 1 \quad \forall n \in \mathbb{N}$ (y a-t-il une autre méthode pour calculer cette somme ?)
8. $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

Exercice 4.4 #

Soit $(x_n), n \in \mathbb{N}$ la suite définie par $x_{n+1} = \frac{2x_n^2-3}{x_n+1}$ et $x_0 = 4$.

1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, x_n > 3$.
2. Montrer que $x_{n+1} - 3 - \frac{3}{2}(x_n - 3)$ est positif.
3. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, x_n \geq \left(\frac{3}{2}\right)^n + 3$.

Exercices du chapitre 5 (Généralités sur les fonctions) #

Exercice 5.1 #

Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

$f_1(x) = \frac{1}{2}x + 5$

$f_2(x) = 3x^2 + 5x + 2$

$f_3(x) = x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 6x + \sqrt{2}$

$f_4(x) = \frac{2}{x^2}$

$f_5(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$

$f_5(x) = \frac{2}{x^2 + 2x - 3}$

$f_6(x) = \sqrt{5 - x}$

$f_7(x) = (3x - 2)^3$

$f_7(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3}$

$f_8(x) = \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}$

$f_6(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 2}}$

Exercice 5.2 #

Soit f la fonction définie par $f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x^2-1}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.

2. Quelle est l’image de 0 par $f$ ? l’image de 3 par $f$ ?

3. Déterminer, s’ils existent, le ou les antécédents de 0, 1 et -1 par $f$.

Exercice 5.3 #

Pour chacun des couples de fonctions ci-dessous, déterminer le domaine de définition de $f$ et celui de $g$. Expliciter $h = f\circ g$ et $j = g\circ f$. Préciser les ensembles de définition de $h$ et $j$. (Préciser le sens de variation de $h$ et $j$ en utilisant le sens de variation de $f$ et $g$).

1. $f(x) = 2x+3$ et $g(x) = x^2$

2. $f(x) = \frac{2}{x+1}$ et $g(x) = x^2$

3. $f(x) = \frac{2}{x+1}$ et $g(x) = 2x+3$

4. $f(x) = \frac{x-2}{x-1}$ et $g(x) = \sqrt{x}$

Exercice 5.4 #

Calculer les dérivées des fonctions suivantes, discuter le signe de la dérivée et dresser le tableau de variations de la fonction. (on précisera les ensembles de définition)

$f_1(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} - x$

$f_2(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3}$

$f_3(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$

$f_4(x) = (5x - 1)^3$

$f_5(x) = \frac{1}{(x + 1)^3}$

Exercice 5.5 #

La fonction f est définie sur $\mathbb{R}^+$ et vérifie $f(3) < f(5)$.

Pour chacune des affirmations, dire si elle est vraie ou fausse.

Justifier les affirmations vraies, construire un contre-exemple graphique des affirmations fausses.

1. $f$ croissante sur $\mathbb{R}^+$

2. $f$ est strictement croissante sur [3 ;5]

3. $f$ n’est pas décroissante sur $\mathbb{R}^+$

Exercice 5.6 #

Soit f la fonction définie par $f(x) = \frac{1+x}{x+2}$

1. Déterminer l’ensemble de définition $I$ de $f$.

2. Etudier les variations de $f$.

3. Démontrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un ensemble $J$ que l’on déterminera.

4. Déterminer $f^{-1}$.

Exercice 5.7 #

Donner l’ensemble de définition et étudier la convexité des fonctions suivantes

1. $f(x) = 3x^2 - 1$

2. $f(x) = - 4x^3$

3. $f(x) = 2x^3 + 3x$

4. $f(x) = \sqrt{x}$

5. $f(x) = \frac{1}{x+2}$

6. $f(x) = x\sqrt{2x + 1}$

Exercice 5.8 #

Soit f définie sur $]-1 ;+\infty[$ par $f(x) = (1 + x)^n$

a. Ecrire l’équation de la tangente à la courbe en 0.

b. En étudiant la convexité de f, montrer que pour tout $x \geq -1$, $(1 + x)^n \geq 1 + nx$

Exercices du chapitre 6 (Fonctions usuelles) #

Exercice 6.1 #

Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes

$f_1(x) = \ln(2x - 5)$

$f_2(x) = e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}$

$f_3(x) = \ln(x^2 - 4)$

$f_4(x) = \ln(\frac{x + 3}{x^2})$

$f_5(x) = \ln(\frac{x + 3}{x - 2})$

$f_6(x) = e^{-x^2+5x+1}$

$f_7(x) = e^{\frac{3}{x^2+x+1}}$

$f_8(x) = \frac{1}{e^{\frac{2}{3x}}}$

Exercice 6.2 #

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = e^{x^2}$

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.

2. Quelle est l’image de 2 par $f$ ?

3. Déterminer, s’ils existent, le ou les antécédents de 1, et $e$ par $f$.

4. Calculer la dérivée de $f$ et dresser le tableau de variations de $f$.

5. Déterminer une équation de la tangente en $x = 1$.

6. Etudier la convexité de $f$.

Exercice 6.3 #

Calculer les dérivées des fonctions suivantes, discuter le signe de la dérivée et dresser le tableau de variations de la fonction. (on précisera les ensembles de définition)

$f_1(x) = \ln(x^2 + 1)$

$f_2(x) = x\ln x$

$f_3(x) = e^{-x^2+5x+1}$

$f_4(x) = (x - 1)e^x$

$f_5(x) = xe^{-x}$

$f_6(x) = \frac{\ln(x)}{x}$

Exercice 6.4 #

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes (on se préoccupera du domaine de validité)

1. $\ln(x+2) = \ln(2x+5)$

2. $\ln(x+2) = \ln(\frac{x+11}{x+3})$

3. $\ln\sqrt{2x - 3} = \frac{1}{2}\ln x$

4. $\ln(x^2-x) < \ln 6$

5. $e^{x^2-1} = 1$

6. $e^{2x}+e^x = 2$

7. $e^{3x+1} + e^{2x+1} = e^{x+1+\ln 6}$

8. $\frac{e^{x^2}}{e^x} < e^6$

Exercice 6.5 #

Soit f la fonction définie par $f(x) = \ln(\frac{1+x}{1-x})$

1. Déterminer l’ensemble de définition I de f.

2. Etudier les variations de f.

3. Démontrer que f réalise une bijection de I sur un ensemble J que l’on déterminera.

4. Déterminer $f^{-1}$.

Exercice 6.6 #

Pour chacune des fonctions suivantes, donner l’ensemble de définition et étudier la convexité.

1. $f_1(x) = x^2\ln x - x^2$

2. $f_2(x) = (2 - x)e^x$

3. $f_3(x) = xe^{x-1}$

Exercice 6.7 #

Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}^{*+}$ par $g(x) = x^3+2x^2\ln x – 3x^2 +1$

1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*+}$ par $f(x) = 6x + 4\ln x$

   a) Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^{*+}$.

   b) Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$, avec $0 < \alpha < 1$

   c) Déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}^{*+}$.

2. Calculer $g’’(x)$ et étudier la convexité de $g$.

Exercice 6.8 #

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x$

1. Ecrire l’équation de la tangente à la courbe en 0.

2. En étudiant la convexité de $f$, montrer que pour tout $x$ réel, $e^x \geq 1 + x$